primitive

Le passage en \(\tan(x/2)\) n'est pas folichon, mais il ramène une fraction rationnelle sympathique, dont le dénominateur est récriproque et se factorise bien…

Bonjour,

Le changement de variable \(u=\tan(x/2)\) fournit les relations :

\begin{align*}
\cos x &= \frac{1-t^2}{1+t^2} & \sin x &= \frac{2t}{1+t^2} & dx = \frac{2\,dt}{1+t^2} \\
\cos x+1 &= \frac{2}{1+t^2} & 2+\sin x &= 2\frac{t^2+t+1}{1+t^2} & \cos x + \sin x + 1 = 2\frac{1+t}{1+t^2}
\end{align*}
et je ne vois pas d'où provient le terme en \(u^2-u-1\)… je trouve personnellement
\[\frac{(\cos x+1)^3}{\sin x (2+\sin x)(\cos x+\sin x+1)^2} = \int \frac{du}{u(u^2+u+1)(u+1)^2}.\]

La décomposition en éléments simples :
\[\frac{1}{u(u^2+u+1)(u+1)^2} = \frac{a}{u} + \frac{b}{u+1} + \frac{c}{(u+1)^2} + \frac{du+e}{u^2+u+1}\]
s'obtient très rapidement avec les techniques usuelles:
– multplication par \(u\) et évaluation en \(0\) pour obtenir \(a\).
– multplication par \((u+1)^2\) et évaluation en \(-1\) pour obtenir \(c\).
– multplication par \((u^2+u+1)^2\) et évaluation en \(j=\exp(2i\pi/3)\) pour obtenir \(d\) et \(e\).
– multplication par \(u\) et passage à la limite à l'infini pour obtenir \(b\).