Énigme sur une fonction ...

Koalito · January 2018

Bonjour,

Mon fils (terminale S) a un exercice sur les primitives. J'en profite pour me dérouiller un peu et (essayer) de suivre cela.
Mais je bute sur la dernière question d'un de ses exos :

Soit f une fonction dérivable sur [0;1] telle que f(0)=-1/2 et f'=-f² sur [0;1].
A) Démontrer que f ne s'annule pas sur [0;1]

Démontrer que (1/f)' est constante sur [0;1]
C) En déduire la fonction f

Pas de problème pour :
A) : dérivée négative >> décroissance >> toujours négative >> ne s'annule pas

: (1/f)' = -(f'/f²)= +1 >> (1/f)' constante sur [0;1]

mais pour C) ... je sèche !

Merci de votre aide !
Cordialement,

Math Coss · January 2018

Si on connaît la dérivée de $1/f$, on peut en déduire $1/f$ (quelles sont les fonctions dont la dérivée est constante ?) puis, facilement, $f$.

Noutch · January 2018

Oui oui, trouve \frac{1}{f} grâce aux conditions initiales de f, et déduis f

Koalito · January 2018

Ben oui, bien sur ! Merci de m'avoir pointé l'évidence !
Je ne devais pas avoir les yeux en face des trous, car j'avais la dérivée constante = 1 sous le nez ! 8-)
(1/f)' = 1 >> f(x) = 1/(x+k)
Puisque f(0)=1/2, alors k=2 et f(x) = 1/(x+2)

Merci !

Tableau Blanc · January 2018

Attention $f(0)=-\frac{1}{2}$! Donc $k=-2$.

Énigme sur une fonction ...

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