suites holonomes

Étonnant : en prenant $P_1(n)=1$, $P_0(n)=-n-1$, $u_n=n!$, n'a-t-on pas $P_1(n)u_{n+1}+P_0(n)u_n=0$ ? Pourtant, $(u_{n+1}/u_n)$ diverge vers $+\infty$.

Il faut probablement des conditions sur les $(P_{i})$ autre que le degré pour que le résultat soit vrai!
par exemple : $u_{n}=(1+(-1)^{n})$ vérifie $u_{n+4}-u_{n}=0;u_{0}=2,u_{1}=0,u_{2}=2,u_{3}=0.$
Il semble que le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ ne soit pas toujours bien défini...
Pour un exemple un peu moins dégénéré, tu peux considérer : $u_{n}=e^{2\pi i\alpha n}+e^{2\pi\beta n}$ où $\beta-\alpha=\frac{1}{3}$... On a que $u_{n+2}-(e^{2\pi i (\alpha)}+e^{2\pi i (\alpha)})u_{n+1}+e^{2\pi i (\alpha+\beta)}u_{n}=0.$
Et si la limite de $(\frac{u_{n+1}}{u_{n}})$ existait, on aurait après avoir factorisé par $e^{2\pi i \alpha n}$ puis considéré les cas $n$ congru à
$0$ ou $1$ modulo $3$ $$\frac{1+ j}{2}=\frac{1+j^{2}}{1+j}.$$ C'est une contradiction!

@BobbyJoe: En effet. Si j'ai bien lu et à peu près retenu, l'hypothèse, c'est que les polynôme « limite », dont les coefficients sont les $\lim_{n\to\infty}\frac{P_i(n)}{P_d(n)}$, a des racines simples. Il faut peut-être aussi supposer que la suite ne s'annule jamais pour que ça ait un sens (pour construire des suites qui s'annulent, il suffit de prendre la récurrence à rebours). Sans la première hypothèse, on peut trouver des suites pour lesquelles le quotient converge vers n'importe quelle racine mais la convergence n'est pas garantie en général.

In fine (c'est quand même plus classe qu'« au final », non ?), note bien que j'ai dit « il faut supposer » et pas « il suffit de supposer »...

@BrobbyJroe: Si on reprend $(u_n)_{n\in\N}=(1+(-1)^n)_{n\in\N}$, le comportement n'est ni géométrique, ni nul à partir d'un certain rang.

L'hypothèse portant sur la seule valeur propre de module maximal ne suffit pas pour assurer la dichotomie que tu proposes : pour la suite $(u_n)$ précédente, on a $u_{n+3}=2u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n$ (polynôme associé : $(x-2)(x^2-1)$, sauf que $2^n$ n'apparaît pas... quelle ruse !).

Vérification faite, j'ai un peu affaibli l'hypothèse que je croyais me rappeler : pour ce qu'Elaydi appelle « théorème de Poincaré » (8.9), il faut non seulement que les racines soient différentes mais en plus qu'elles aient des modules différents (ce n'est pas le cas pour l'exemple ci-dessus). Cette hypothèse assure la dichotomie que tu dis.