Simplification d'une expression avec ln

Bonjour à tous,

J'aimerais prouver qu'une expression composée de logarithmes népériens appartient à $\mathbb{N}$ si et seulement si elle remplit certaines conditions. Voici l'expression : $\ \dfrac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)},\ a, b \in \mathbb{N}^*$.
Selon moi, le seul moyen de simplifier cette expression est de transformer $a$ et $b$ en puissances de 2 pour ensuite les sortir du $\ln$ grâce à ses propriétés et simplifier ensuite les $\ln(2)$ : ($a = 2^x, b = 2^y,\ x, y \in \mathbb{R}_+$)
\begin{align*}
\frac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)}&=\frac{\ln(2^x)-\ln(2^y)}{\ln(2)}\\
&=\frac{x\ln(2)-y\ln(2)}{\ln(2)}\\
&=\frac{(x-y)\ln(2)}{\ln(2)}\\
&=x-y
\end{align*}
Or on m'a assuré que cette simplification et ce point de vue ne permettait pas de dire que $\ \dfrac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)}\in \mathbb{N}\ $ si et seulement si $x-y \in \mathbb{N}$, sans pouvoir me fournir de contre-exemple ou d'explication qui ait réussie à me convaincre.
Si jamais vous savez pourquoi cette simplification serait juste ou fausse, et si elle est fausse comment établir rigoureusement cette simplification, je suis tout ouïe :-). N'hésitez pas à me demander des précisions si nécessaire.
Merci d'avance pour vos réponses.