Simplification d'une expression avec ln
Bonjour à tous,
J'aimerais prouver qu'une expression composée de logarithmes népériens appartient à $\mathbb{N}$ si et seulement si elle remplit certaines conditions. Voici l'expression : $\ \dfrac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)},\ a, b \in \mathbb{N}^*$.
Selon moi, le seul moyen de simplifier cette expression est de transformer $a$ et $b$ en puissances de 2 pour ensuite les sortir du $\ln$ grâce à ses propriétés et simplifier ensuite les $\ln(2)$ : ($a = 2^x, b = 2^y,\ x, y \in \mathbb{R}_+$)
\begin{align*}
\frac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)}&=\frac{\ln(2^x)-\ln(2^y)}{\ln(2)}\\
&=\frac{x\ln(2)-y\ln(2)}{\ln(2)}\\
&=\frac{(x-y)\ln(2)}{\ln(2)}\\
&=x-y
\end{align*}
Or on m'a assuré que cette simplification et ce point de vue ne permettait pas de dire que $\ \dfrac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)}\in \mathbb{N}\ $ si et seulement si $x-y \in \mathbb{N}$, sans pouvoir me fournir de contre-exemple ou d'explication qui ait réussie à me convaincre.
Si jamais vous savez pourquoi cette simplification serait juste ou fausse, et si elle est fausse comment établir rigoureusement cette simplification, je suis tout ouïe :-). N'hésitez pas à me demander des précisions si nécessaire.
Merci d'avance pour vos réponses.
J'aimerais prouver qu'une expression composée de logarithmes népériens appartient à $\mathbb{N}$ si et seulement si elle remplit certaines conditions. Voici l'expression : $\ \dfrac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)},\ a, b \in \mathbb{N}^*$.
Selon moi, le seul moyen de simplifier cette expression est de transformer $a$ et $b$ en puissances de 2 pour ensuite les sortir du $\ln$ grâce à ses propriétés et simplifier ensuite les $\ln(2)$ : ($a = 2^x, b = 2^y,\ x, y \in \mathbb{R}_+$)
\begin{align*}
\frac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)}&=\frac{\ln(2^x)-\ln(2^y)}{\ln(2)}\\
&=\frac{x\ln(2)-y\ln(2)}{\ln(2)}\\
&=\frac{(x-y)\ln(2)}{\ln(2)}\\
&=x-y
\end{align*}
Or on m'a assuré que cette simplification et ce point de vue ne permettait pas de dire que $\ \dfrac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)}\in \mathbb{N}\ $ si et seulement si $x-y \in \mathbb{N}$, sans pouvoir me fournir de contre-exemple ou d'explication qui ait réussie à me convaincre.
Si jamais vous savez pourquoi cette simplification serait juste ou fausse, et si elle est fausse comment établir rigoureusement cette simplification, je suis tout ouïe :-). N'hésitez pas à me demander des précisions si nécessaire.
Merci d'avance pour vos réponses.
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Réponses
Du fait que \(\dfrac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)}\) et \(x-y\) sont égaux, l'équivalence \(\dfrac{\ln(a)-\ln(b)}{\ln(2)}\in\mathbf{N}\iff x-y\in\mathbf{N}\) est triviale: il n'y a rien à démontrer puisqu'on dit deux fois la même chose…
@gb, en effet j'ai bien l'impression que c'est trivial...
@Poirot, tu as dit $n\in \mathbb{N}$, cela ne fonctionne pas dans $\mathbb{R}$ ?
Du coup, puis-je utiliser cette démonstration pour dire que si $a$ ou $b$ est impair, cette expression ne sera jamais entière vu qu'un nombre impair ne peut s'exprimer par une puissance entière de 2 ?
J'ai oublié quelques précisions, dans le cadre de ma démonstration j'ai également les propriétés suivantes : $a\neq b$ et $b\neq 1$. Je précise également que $a$ est pair et $b$ est impair. Je sais que avec $a=4$ par exemple et $b=1$ cela fonctionne, mais dans mon étude le cas $b=1$ ne m'intéresse pas... Je m'aperçois du coup que mon calcul ne permet pas de répondre directement à la question, mais avez-vous une idée de démonstration en prenant en compte ces autres contraintes ?
Attention, la réponse de Poirot $\dfrac a b =2^n$ n'est pas équivalente à la tienne $a=2^x$ et $b=2^y$, mais est équivalente à $a=k2^x$ et $b=k2^y$ avec $k\in \mathbb N^*$.
Ou même en simplifiant puisque $a\geq b>0$, alors $\dfrac a b=2^n$ est équivalent à $a=2^nb$.
Alain
En effet j'ai mal compris la réponse de Poirot. Je propose donc une démonstration de mon problème avec les éléments de démonstration que m'a proposé Poirot, n'hésitez pas à me dire ce que vous en pensez :-D
On cherche à déterminer lorsque $n\in \mathbb{N}^*$ pour $n=\frac{\ln a-\ln b}{\ln 2}$, avec $a$ pair et $b$ impair avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$.
On a $n=\frac{\ln a-\ln b}{\ln 2}\Leftrightarrow \frac{a}{b}=2^n$. (affirmation de Poirot que l'on peut en effet montrer facilement)
Or $a$ est un nombre pair strictement positif et $b$ un nombre impair différent de 1.
Donc $\frac{a}{b}$ n'est jamais un nombre pair (cela me semble assez évident, si besoin je peux toujours le démontrer je pense).
Donc $\frac{a}{b}\neq 2^n$ car $2^n$ est forcément un nombre pair.
Donc il n'existe pas d'entier strictement positif $n$ tel que $n=\frac{\ln a-\ln b}{\ln 2}$ avec $a$ pair et $b$ impair avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$.
Qu'en pensez-vous ?
Merci en tout cas à tout ceux qui m'ont déjà apporté beaucoup d'aide.
Si $a=2^n b$, ta condition est bien vérifiée, a est pair et b impair. par exemple a=24 et b=3.
Cordialement.
Tu as proposé deux questions, la première était réglée, la deuxième vient de l'être. Ça fait au moins deux fois que tu parles de "la question", mais tu continues à nous la cacher.
En tout cas, $\displaystyle \frac{\ln(48)-\ln(3)}{\ln(2)}$ est bien un entier.