Blocage sur exercice avec espaces de $H^1_0$

Bonjour à tous !
Révisant mon cours sur les espaces de Sobolev, je bloque sur une question d'un exo (je suis sûr très simple). Je peux faire la suite sans mais ça me frustre beaucoup !

Soit $ u\in H^1_0(]0;1[)$ vérifiant : $\quad\displaystyle \int_0^1u'(x)\phi'(x)dx=\phi(1/2), \ \forall \phi \in H^1_0(]0;1[) $
Je dois montrer que $||u'||_{L^2(]0,1[)}\leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Pour moi, l'avancée logique est de prendre $\ \phi=u$
Du coup j'ai : $\quad\displaystyle\int_0^1u'^2(x)dx = u\Big(\frac{1}{2}\Big)$
On rappelle que $\quad\displaystyle ||u||_{L^2(]0,1[)}=\bigg( \int_0^1u'^2(x)dx\bigg)^{\frac{1}{2}} $
Donc si j'arrive à majorer : $\quad\displaystyle u\Big(\frac{1}{2}\Big) \leq \frac{1}{2},\ $ je trouve le résultat cherché.

Néanmoins je ne vois pas trop comment (et SI) je peux majorer de cette façon.
S'agit-il d'une propriété de $H$ que je n'ai pas prise en compte ou d'une simple astuce ?
Je vous remercie d'avance pour le temps que vous me consacrerez.
Bonne journée! :-D