Fonctions de carré intégrable
Bonjour, je bloque depuis un certain temps sur un exercice.
Je précise que je suis en prépa en PC étoile.
L'exercice est le suivant :
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f$ de $C^1(\mathbb R, \mathbb R)$ telles que $f'$ et $g:t\rightarrow tf(t) $ soient de carré intégrable sur $\mathbb R$. Montrer que $E$ est un espace vectoriel. Montrer que pour $f \in E$, $f$ est de carré intégrable sur $R$, et : $$\int_\mathbb R f^2 \leq 2\sqrt{\int_\mathbb R f'^2}\sqrt{\int_\mathbb R g^2}$$
Pas de problème pour montrer que $E$ est un espace vectoriel. Par contre je n'arrive pas à montrer que si $f \in E$ alors $f$ est de carré intégrable.
Voilà ce que j'ai tenté : si $f$ est de carré intégrable sur $\mathbb R$, elle l'est sur $]-\infty ,0]$ et $[0, +\infty[$. Une intégration par parties (sous réserve de convergence) sur ce dernier intervalle donne :
$$\int_{0}^{+\infty} f^2(t) dt = [tf^2(t)]_0^{+\infty} - 2\int_{0}^{+\infty} tf(t)f'(t) dt $$
Comme $f'$ et $g:t\rightarrow tf(t)$ sont de carré intégrable sur $\mathbb R$, leur produit est intégrable sur $\mathbb R$ donc la deuxième intégrale converge.
Finalement il y a équivalence entre : $f^2$ est intégrable sur $\mathbb R$ et $t\rightarrow tf^2 (t)$ admet une limite finie en $+\infty$.
Mais je bloque ici, comment montrer que cette limite existe pour en déduire l'intégrabilité de $f^2$ ? (il me semble d'ailleurs qu'elle vaut forcément $0$)
Un peu d'aide serait la bienvenue, merci d'avance !
Je précise que je suis en prépa en PC étoile.
L'exercice est le suivant :
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f$ de $C^1(\mathbb R, \mathbb R)$ telles que $f'$ et $g:t\rightarrow tf(t) $ soient de carré intégrable sur $\mathbb R$. Montrer que $E$ est un espace vectoriel. Montrer que pour $f \in E$, $f$ est de carré intégrable sur $R$, et : $$\int_\mathbb R f^2 \leq 2\sqrt{\int_\mathbb R f'^2}\sqrt{\int_\mathbb R g^2}$$
Pas de problème pour montrer que $E$ est un espace vectoriel. Par contre je n'arrive pas à montrer que si $f \in E$ alors $f$ est de carré intégrable.
Voilà ce que j'ai tenté : si $f$ est de carré intégrable sur $\mathbb R$, elle l'est sur $]-\infty ,0]$ et $[0, +\infty[$. Une intégration par parties (sous réserve de convergence) sur ce dernier intervalle donne :
$$\int_{0}^{+\infty} f^2(t) dt = [tf^2(t)]_0^{+\infty} - 2\int_{0}^{+\infty} tf(t)f'(t) dt $$
Comme $f'$ et $g:t\rightarrow tf(t)$ sont de carré intégrable sur $\mathbb R$, leur produit est intégrable sur $\mathbb R$ donc la deuxième intégrale converge.
Finalement il y a équivalence entre : $f^2$ est intégrable sur $\mathbb R$ et $t\rightarrow tf^2 (t)$ admet une limite finie en $+\infty$.
Mais je bloque ici, comment montrer que cette limite existe pour en déduire l'intégrabilité de $f^2$ ? (il me semble d'ailleurs qu'elle vaut forcément $0$)
Un peu d'aide serait la bienvenue, merci d'avance !
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Réponses
Enfin, ton IPP montrer que $g$ a une limite en $+\infty$ (qui ne peut-être que nulle, pourquoi?)
Une autre application de Cauchy-Schwarz dans ton IPP donne alors la majoration que tu veux.
Bonne chance!
Je ne parviens pas à montrer que $f$ est de carré intégrable à partir de ton indication, BobbyJoe.
En écrivant $f(t)=tf(t)\times \frac{1}{t}$, comme $t\rightarrow tf(t)$ et $t\rightarrow \frac{1}{t}$ sont de carré intégrable sur $[1, +\infty[$ j'obtiens que $f$ est intégrable sur ce même intervalle, et elle l'est alors sur $[0, +\infty[$ puis sur $\mathbb R$. Mais ce n'est pas vraiment ce qu'on veut montrer...
Cette limite $l$ est nulle sinon si $l>0,$ on aurait $f^{2}(t)\sim_{+\infty} \frac{l}{t}$ qui n'est pas intégrable dans $\mathcal{V}(+\infty).$C'est une contradiction par le premier point!
Tu peux procéder de même pour ce qu'il se passe au voisinage de $-\infty.$
L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de conclure pour trouver l'inégalité finale! (on l'a déjà utilisé implicitement pour montrer que $t \mapsto tf^{2}(t)$ avait une limite finie en $+\infty$).
Montrer que $f^2$ est intégrable sachant que $g^2$ est intégrable est pourtant très simple.
Il suffit d'écrire pour $x>1$: $\displaystyle\int_1^x |f(t)|^2 dt \leq\int_1^x |g(t)|^2dt$ et la même chose sur $[x,-1]$ pour $x<-1$.
En écrivant $f^2(t)= g^2(t)\times \frac{1}{t^2}$, on en déduit que $f^2(t) = o\big(g^2(t)\big)$ aussi bien en $+\infty$ qu'en $-\infty$
Ceci prouve que $f^2$ est intégrable, d'où $tf^2(t)$ tend vers $0$ en $\pm \infty$. L'inégalité s'en suit par Cauchy-Schwarz. J'avais aussi déterminé les fonctions pour lesquelles il y avait égalité mais je ne me rappelle plus très bien, ce doivent être des exponentielles en $-t^2$.