Série absolument convergente

Je ne sais pas si j'ai bien compris la question.

Si $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ est convergente est-ce que

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ et $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ont la même valeur?

Si c'est la question alors la réponse est, pas toujours.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12}$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

En fait, si ton Banach n'est plus R, ce serait comparer des choses totalement distinctes

Si la suite $(u_n)$ possède deux termes de signes opposés et que la série de terme général $u_n$ converge absolument alors \[\Big|\sum_n u_n\Big| < \sum_n |u_n|.
\] Il suffit de noter $u_{k_1}$ un terme strictement négatif et $u_{k_2}$ un terme strictement positif.
On a : \[ \sum_{n} u_n = u_{k_1}+\sum_{n \neq k_1} u_n < \sum_{n \neq k_1} u_n \leq \sum_n |u_n|. \] Et : \[ - \sum_{n} u_n=-u_{k_2}+\sum_{n \neq k_2} -u_n < \sum_{n \neq k_2} -u_n \leq \sum_n |u_n|. \] D'où le résultat.