La classe C°°

naforito
naforito
dans Analyse
Bonsoir

Est-ce que les applications linéaires sont de classe C°° ? (je sais que c'est oui) mais je ne sais connais pas une démonstration qui assure ça

Notre prof nous a dit que
f'(x) = f (car f est application linéaire continue)
=> f''(x)=0 (ici je me suis perturbé)

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il manque un peu de contexte, parles-tu d'applications linéaires de $\mathbb R \to \mathbb R$ ? Ou bien d'application linéaire $E \to F$ où $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels normés ? Dans le second contexte, ce que tu dis est en général faux, mais si ton application linéaire est continue alors c'est bien vrai car $f = d_af$ pour tout point $a \in E$. Ainsi, $a \mapsto d_af$ est constante, donc différentiable de différentielle nulle, et une récurrence très simple te donne alors que $f$ est bien de classe $\mathcal C^n$ pour tout $n \geq 0$.
  • Dom
    Dom
    Si $f$ est une fonction linéaire de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, alors il existe $a$ tel que pour tout réel $x$ : $f(x)=ax$.

    Alors, en regardant le taux d'accroissement en un point $x_0$ arbitraire, on obtient pour $x$ voisin de $x_0$ sans y être égale :

    $\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0} = $...
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