Dérivées successives d'une fonction

Youssefo · January 2018

Je viens de rencontrer une question sur la dérivée n-ième de la fonction [large]f(x)=ln(1+x^2)[/large] à un sujet d'examen que je n'arrive pas à résoudre !
Comment dois-je faire sachant que j'ai essayé de tirer une formule de récurrence mais en vain !
Une 2 ème idée est de décomposer en éléments simples la 1 ère dérivée de f qui est f '(x)= 1/(x+i) + 1/(x-i). Faire la somme des deux dérivées n-ième de f ', et pour revenir à la dérivée n-ième de f il suffit de primitiver !
Ça parait difficile en rédaction je n'arrive pas à trouver la solution exacte ..
À vous d'essayer ...
Merci infiniment d'avance ...

[En français, on ne met des majuscules qu'en début de phrase et aux noms propres. AD]

Poirot · January 2018

Pourtant ton idée est la bonne, une fois qu'on a remarqué que $$f'(x) = \frac{1}{x+i} + \frac{1}{x-i},$$ on peut donner facilement une formule pour n'importe quelle dérivée de $f$ sans avoir à primitiver quoi que ce soit : $$(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$$ pour tout entier $n \geq 1$.