Fonction non uniformément continue

Bonjour

Pouvez-vous me confirmer que ma démonstration avec les suites est correcte. On doit montrer que $f:]0,1]\rightarrow\mathbb R$ définie par $f(x)=1/x$ n'est pas uniformément continue.

J'ai posé pour $n\in\mathbb N^{*}, x_n=1/n^2$ et $y_n=1/n$. Alors $|x_n-y_n|\leq 1/n^2+1/n\to 0$ et $|f(x_n)-f(y_n)|=n^2-n\to +\infty\neq 0$. D'où le résultat. Si ma démarche est correcte, c'est bien plus facile et rapide qu'avec la définition avec $\epsilon$ et $\eta$, c'est ce qui me surprend.