Limites des fonctions monotones
dans Analyse
Bonjour
J'ai un peu de mal avec ce théorème et je me suis rendu compte que je le comprenais mal. En fait, si $f$ est croissante sur $X\subset\mathbb R$ et $a\in X$ alors il y a toujours au moins un des deux termes suivants qui est bien défini : $\lim_{a^{-}}f$ ou $\lim_{a^{+}}f$ (avec en plus l'inégalité qui concerne le terme défini), c'est bien ça ? i.e. c'est impossible que ni $\lim_{a^{-}}f$ ni $\lim_{a^{+}}f$ existent (toujours avec les mêmes hypothèses).
Merci d'avance!
J'ai un peu de mal avec ce théorème et je me suis rendu compte que je le comprenais mal. En fait, si $f$ est croissante sur $X\subset\mathbb R$ et $a\in X$ alors il y a toujours au moins un des deux termes suivants qui est bien défini : $\lim_{a^{-}}f$ ou $\lim_{a^{+}}f$ (avec en plus l'inégalité qui concerne le terme défini), c'est bien ça ? i.e. c'est impossible que ni $\lim_{a^{-}}f$ ni $\lim_{a^{+}}f$ existent (toujours avec les mêmes hypothèses).
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Réponses
Si \(f\) est définie et monotone sur \(\mathbf{N}\), i. e. \(f\) est une suite, alors, croissante ou pas, on ne peut envisager de limite ni à droite ni à gauche en aucun point de \(\mathbf{N}\).
Si \(f\) est définie et monotone sur \([0,1[\cup]1,2[\cup]3,5[\), alors :
– en 0 et en 3, il y a une limite à droite, et pas de possibilité de limite à gauche ;
– en 2 et en 5, il y a une limite à gauche, et pas de possibilité de limite à droite ;
– en 1 et en tous les points de l'ensemble de définition non cités précédemment, par exemple en 4, il y a une limite à droite et à gauche.
Ce que dit le théorème, c'est qu'à chaque fois qu'une de ces limites est envisageable, elle existe et elle vérifie l'inégalité écrite.