Intégrales
Bonsoir
La première question j’ai déjà démontré avec les sommes de Riemann.
Je suis bloqué dans la deuxième question de cet exercice si vous avez une idée.
Je vous remercie.
Soit la fonction $f$ continue, strictement croissante sur l'intervalle $[ 0,a ]$ et $f( 0 )=0$. On pose $g=f^{-1}$
1- Montrer en utilisant une subdivision bien choisie du segment $[ 0,a ]$ que : $$ \int_{0}^{a}{f( t )}dt+\int_{0}^{f( a )}{g( t )}dt=af( a ).$$
2- En déduire que pour tout $\alpha \in \left[ 0,a \right]$ et $\beta \in \left[ 0,f( a ) \right]:$ $$ \alpha \beta \le \int_{0}^{\alpha }{f( t )}dt+\int_{0}^{\beta }{g( t )}dt.$$
La première question j’ai déjà démontré avec les sommes de Riemann.
Je suis bloqué dans la deuxième question de cet exercice si vous avez une idée.
Je vous remercie.
Soit la fonction $f$ continue, strictement croissante sur l'intervalle $[ 0,a ]$ et $f( 0 )=0$. On pose $g=f^{-1}$
1- Montrer en utilisant une subdivision bien choisie du segment $[ 0,a ]$ que : $$ \int_{0}^{a}{f( t )}dt+\int_{0}^{f( a )}{g( t )}dt=af( a ).$$
2- En déduire que pour tout $\alpha \in \left[ 0,a \right]$ et $\beta \in \left[ 0,f( a ) \right]:$ $$ \alpha \beta \le \int_{0}^{\alpha }{f( t )}dt+\int_{0}^{\beta }{g( t )}dt.$$
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Réponses
Tu fais un dessin représentant, dans un repère orthonormé, un graphe possible pour \(f\) compte-tenu des données. Tu subdivises l'intervalle \([0,a]\) pour simuler une somme de Riemann.
Tu tournes ton dessin d'un quart de tour, tu constates qu'il y a, pour \(g\), une subdivision de \([0,f(a)]\) qui s'adapte naturellement au dessin.
je cherche à résoudre la deuxième question analytiquement et pas géométriquement.
Le cas $f\left( \alpha \right)\le \beta \Rightarrow \int_{0}^{f\left( \alpha \right)}{g\le \int_{0}^{\beta }{g}}$ car $g\ge 0$ et f et croissante.
Donc facilement en trouve : $\alpha \beta \le \int_{0}^{\alpha }{f+\int_{0}^{\beta }{g}}$.
Le cas $f\left( \alpha \right)>\beta $ je ne sais pas comment procéder.
Si $f(\alpha)\leq \beta,$ on a $$\int_{0}^{\alpha}f(t)dt+\int_{0}^{\beta}g(t)dt=\int_{0}^{\alpha}f(t)dt+\int_{0}^{f(\alpha)}g(t)dt+\int_{f(\alpha)}^{\beta}g(t)dt.
$$ Par la relation précédente et la croissance de $g,$ on a $$\int_{0}^{\alpha}f(t)dt+\int_{0}^{\beta}g(t)dt\geq \alpha f(\alpha)+ g(f(\alpha))\Big( \beta-f(\alpha) \Big)= \alpha \beta.
$$ Si $f(\alpha)\geq \beta,$ on a $$
\int_{0}^{\alpha}f(t)dt+\int_{0}^{\beta}g(t)dt=\int_{0}^{\alpha}f(t)dt+\int_{0}^{f(\alpha)}g(t)dt-\int_{\beta}^{f(\alpha)}g(t)dt.
$$ Par la relation précédente et la croissance de $g,$ on a $$\int_{0}^{\alpha}f(t)dt+\int_{0}^{\beta}g(t)dt\geq \alpha f(\alpha)-g(f(\alpha))\Big( f(\alpha)-\beta \Big)= \alpha \beta.$$
Si l'on suppose $f$ dérivable, c'est nettement plus facile.
Si $q$ et $q$ sont des réels, $p>0$, $q>0$, $\frac 1p+ \frac 1q =1$, alors l'inégalité de la question 2 appliquée à $f(x)=x^{p-1}$ donne l'inégalité de Young, qui est le lemme de l'inégalité de Hölder.
https://en.wikipedia.org/wiki/Young's_inequality_for_products
https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder's_inequality
Bonne journée.
Fr. Ch.
La première partie est alors nettement plus facile... (le résultat final s'obtient par passage à la limite).
Si $\sigma=(a_0,\dots,a_n)$ est une subdivision quelconque de $[0,a]$ et $\sigma'=(f(a_0),\dots,f(a_n))$ son image par $f$ alors par sommation d'Abel : $$\begin{array}{rcl}\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)f(a_k) &=& \sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}f(a_{k+1})-a_kf(a_k)) - \sum_{k=0}^{n-1}(f(a_{k+1})-f(a_k))a_k \\ &=& (a_nf(a_n)-a_0f(a_0)) - \sum_{k=0}^{n-1}(f(a_{k+1})-f(a_k))g(f(a_k))\end{array}$$
Donc $$\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)f(a_k) + \sum_{k=0}^{n-1}\left(f(a_{k+1})-f(a_k)\right)g(f(a_k)) = af(a)$$
Lorsque le pas de la subdivision $\sigma$ tend vers 0, celui de $\sigma'$ tend également vers 0 car $f$ est uniformément continue sur le segment $[0,a]$ d'après Heine, et donc, par le théorème des sommes de Riemann, on conclut comme voulu, puisque la somme de gauche converge vers $\int_0^a f(t)dt$ et celle de droite vers $\int_0^{f(a)}g(t)dt$.