Intégrales

Bonjour,

Tu fais un dessin représentant, dans un repère orthonormé, un graphe possible pour \(f\) compte-tenu des données. Tu subdivises l'intervalle \([0,a]\) pour simuler une somme de Riemann.

Tu tournes ton dessin d'un quart de tour, tu constates qu'il y a, pour \(g\), une subdivision de \([0,f(a)]\) qui s'adapte naturellement au dessin.

Bravo d'avoir prouvé la question 1 avec les sommes de Riemann, c'est assez empoisonnant à formaliser.
Si l'on suppose $f$ dérivable, c'est nettement plus facile.

Si $q$ et $q$ sont des réels, $p>0$, $q>0$, $\frac 1p+ \frac 1q =1$, alors l'inégalité de la question 2 appliquée à $f(x)=x^{p-1}$ donne l'inégalité de Young, qui est le lemme de l'inégalité de Hölder.
https://en.wikipedia.org/wiki/Young's_inequality_for_products
https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder's_inequality

Bonne journée.
Fr. Ch.

La première question n'est pas si difficile à établir que vous semblez le dire :

Si $\sigma=(a_0,\dots,a_n)$ est une subdivision quelconque de $[0,a]$ et $\sigma'=(f(a_0),\dots,f(a_n))$ son image par $f$ alors par sommation d'Abel : $$\begin{array}{rcl}\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)f(a_k) &=& \sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}f(a_{k+1})-a_kf(a_k)) - \sum_{k=0}^{n-1}(f(a_{k+1})-f(a_k))a_k \\ &=& (a_nf(a_n)-a_0f(a_0)) - \sum_{k=0}^{n-1}(f(a_{k+1})-f(a_k))g(f(a_k))\end{array}$$
Donc $$\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)f(a_k) + \sum_{k=0}^{n-1}\left(f(a_{k+1})-f(a_k)\right)g(f(a_k)) = af(a)$$

Lorsque le pas de la subdivision $\sigma$ tend vers 0, celui de $\sigma'$ tend également vers 0 car $f$ est uniformément continue sur le segment $[0,a]$ d'après Heine, et donc, par le théorème des sommes de Riemann, on conclut comme voulu, puisque la somme de gauche converge vers $\int_0^a f(t)dt$ et celle de droite vers $\int_0^{f(a)}g(t)dt$.