Quasi-polynomiale

On peut commencer par le cas de $\dfrac{1}{(1-X^\beta)^\alpha}$, où $\beta$ et $\alpha$ sont des entiers $>0$. On passe ensuite à $\dfrac{P}{(1-X^\beta)^\alpha}$ où $P$ est un polynôme de degré $<\beta \alpha$, et on ramène le cas général à ce cas par décomposition en éléments simples (tous les dénominateurs qui apparaissent dans cette décomposition sont de la forme $Q^\alpha$ où $Q$ est un diviseur d'un $1-X^\beta$).

On décompose la fraction rationnelle \(F\) en éléments simples sur \(\mathbf{C}\).

Il suffit, grâce à la question 3 permet, d'établir le résultat pour les fractions \(\frac{1}{(\xi-x)^k}\) où \(\xi\) est une racine de l'unité, ce qui est quasi immédiat.

J'avais déjà parlé d'éléments simples ;-). Précision : on peut les prendre sur $\Q$, pas besoin de passer par les racines de l'unité, et on a immédiatement que les polynômes du quasi-polynôme sont à coefficients rationnels.

Salut,

Petite question : j'ai essayé avec une approche un peu théorique, mais j'ai butté sur un lemme où je me suis mélangé les pinceaux ; c'est $(\star)$ plus bas, le reste c'est juste quelques trucs formelles au cas où ça peut servir.

1. Introduisons les fonctions $\delta_{i \pmod T}$ la fonction caractéristique de l'ensemble $i+T\N$. Alors cette fonction est $T$-quasi-polynomiale.

2. Une suite est $T$-quasi-polynomiale si et seulement si il existe des polynômes $(P_0,\dots,P_{T-1})$ vérifiant $u_\bullet= \sum_{i=0}^{T-1} P_i(\bullet) \delta_{i \pmod{T}}(\bullet)$.

3. Pour la somme est le produit de deux suites $T$-quasi-polynomial, je pense que ça ne pose pas de problème. Si les périodes des deux suites ne sont pas les mêmes, on utilise la proposition suivante : si $(u)$ est $T$-quasi-polynomial alors $(u)$ est $T^\prime$-quasi-polynomiale pour tout $T^\prime$ multiple de $T$ ça permet de se ramener au cas de deux suites de même période.

4. Le truc plus complexe, mais qui donne formellement la solution de l'exercice est de prouver que le produit de convolution de deux suites quasi polynomiale est encore quasi-polynomiale.

Bref, soit deux suite $u$ et $v$ je forme la suite $u \star v := \left[ n \mapsto \sum_{k=0}^n u(k)v(n-k)\right]$.

A prouver (en regardant sur wikipédia, il annonce ce lemme)
$$
\text{si $u$ et $v$ sont quasi-polynomiales, alors $u \star v$ est quasi-polynomiale} \qquad (\star)
$$

Un petit lemme : $ (u+v) \star w = u \star w + v \star w$, ça permet de découper un peu les choses.

5. Dernier truc pour faire le lien avec l'exercice, étant donné une suite $(u)$ on introduit sa série génératrice $Z(u,x) := \sum_{n \geq 0} u_n x^n$ (disons de manière formelle).

La propriété est que : étant donné deux suites $Z(u,x) Z(v,x) = Z( u \star v,x)$.

Bilan : il me reste à prouver $(\star)$ et si je ne dit pas de bêtise, on peut se limiter à prouver $(\star)$ pour des suites de la forme $[ n\mapsto n^p \delta_{i \pmod T}(n)]$ avec $T$ fixé et $i$ et $k$ variables.

6. Un vraiment dernier point : c'est peut-être pas une bonne idée de faire intervenir les $\delta_i$ mais on dispose d'un autre point de vue : en constatant que
$$
\delta_{i \pmod T} (\bullet) = {1 \over T} \sum_{k =0}^{T-1} \zeta_T^{k(\bullet -i)}
$$
ça permet d'envisager d'autres fonctions de base, à la place des $[ n\mapsto n^p \delta_{i \pmod T}(n)]$, mais c'est tendu !

Mais mon approche ne semble pas donner $(\star)$ facilement, le produit $\star$ est délicat à manipuler ... Bref qui a une idée pour $(\star)$ ? Et également si quelqu'un voit des énormités dans les autres points.

A noter:
La première partie de l'épreuve de Mathématiques Générales de l'épreuve de l'Agrégation Externe de Mathématiques de la session 2012 était consacrée aux fonctions quasi-polynomiales.

MG AgregExt 2012

Bien cordialement,

On peut commencer par s'intéresser à
$$n\longmapsto \sum_{k=0}^n k^p(n-k)^q\;.$$

Merci JLT. Je pense que tu as tué le problème :-)