intégrale calculable ?

Bonjour,

Il me semble que la fonction \(f_p\) définie par l'intégrale dépendant du paramètre \(\theta\) est solution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre :
\[y'\sin\theta+(2p-1)y\cos\theta = \sin^2\theta-\cos^2\theta\]
où d'une autre qui y ressemble, du fait que je n'ai jamais su calculer.

Pour vérifier les erreurs de calculs…

Une petite intégration par parties avec :
\begin{align}
u &= \frac{1}{(1+2x\cos \theta+x^2)^p} & u' &= -\frac{2p(x+\cos\theta)}{(1+2x\cos \theta+x^2)^{p+1}} \\
v' &= 1 & v &= x+\cos\theta
\end{align}
fournit :
\begin{align}
f_p(\theta) &= \int_0^{\infty}\frac{dx}{(1+2x\cos \theta+x^2)^p} \\
&= \left[ \frac{x-\cos\theta}{(1+2x\cos \theta+x^2)^p} \right]_0^{\infty} +
2p \int_0^{\infty}\frac{(x+\cos\theta)^2}{(1+2x\cos \theta+x^2)^{p+1}}\,dx \\
&= \cos\theta + 2p \int_0^{\infty}\frac{x^2+2x\cos\theta+1-\sin^2\theta}{(1+2x\cos \theta+x^2)^{p+1}}\,dx \\
&= \cos\theta + 2pf_p(\theta) - 2p\sin^2\theta f_{p+1}(\theta)
\end{align}
et d'autre part :
\begin{align}
f_p'(\theta) &= \int_0^{\infty}\frac{2px\sin\theta \,dx}{(1+2x\cos \theta+x^2)^{p+1}} \\
&= \sin\theta \int_0^{\infty}\frac{2p(x+\cos\theta)}{(1+2x\cos \theta+x^2)^{p+1}}\,dx -
2p\sin\theta \int_0^{\infty}\frac{\cos\theta}{(1+2x\cos \theta+x^2)^{p+1}}\,dx \\
&= \sin\theta \left[ -\frac{1}{(1+2x\cos \theta+x^2)^p} \right]_0^{\infty} -2p\sin\theta\cos\theta f_{p+1}(\theta) \\
&= \sin\theta + \cos\theta\frac{(1-2p)f_p(\theta)-\cos\theta}{\sin\theta}
\end{align}
donc \(f_p\) est solution de l'équation différentielle linéaire :
\[y'\sin\theta+(2p-1)y\cos\theta = \sin^2\theta-\cos^2\theta.\]