approximation de Stirling sur $\Re(s) = 0$

Dans les bandes verticales, $\Gamma$ est bien approchée par Stirling.

Exemple 1. Je ne vois pas pourquoi la première ne serait pas correcte : pour tout $s = \sigma + it \in \mathbb{C}^*$ tel que $\sigma \geqslant 0$
$$\left | \Gamma(s) \right | \leqslant \sqrt{2 \pi} |s|^{\sigma -1/2} e^{- \pi |t|/2 } \exp \left( \tfrac{1}{6|s|} \right).$$

Exemple 2. Voici une vieille formule due à Mathias Lerch (1893), assez peu connue, mais assez pratique et valide lorsque les parties réelles des nombres complexes en jeu sont dans la bande $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$ :
$$\left | \Gamma \left( \sigma + it \right) \right | = \lambda \frac{\Gamma(1+\sigma)}{\sqrt{\sigma^2+t^2}} \sqrt{\frac{\pi t}{\textrm{sh}(\pi t)}}$$
où $\lambda$ vérifie $1 < \lambda < \sqrt{1+t^2}$. De plus, lorsque $\sigma=0$, alors $\lambda = 1$ (résultat dû à Stieltjes) et l'on a
$$\left | \Gamma \left( it \right) \right | = \frac{1}{|t|} \sqrt{\frac{\pi t}{\textrm{sh}(\pi t)}}.$$

De rien ! B-)-