Problème du 17.01.2018

Bonjour soland,
Si $abc=1$ alors $a^4b^4c^4=1$.
Le problème s'énonce donc plus simplement :
Si $x,y,z$ ont trois réels positifs tels que $xyz=1$, la somme $$\frac 1{y+z+1}+\frac 1{ z+x+1}+\frac 1 {x+y+1}$$ est-elle forcément inférieure à 1 ?

Soit $\displaystyle f(x,y,z)=\frac 1{y+z+1}+\frac 1{ z+x+1}+\frac 1 {x+y+1}$, et pour $x>0$ soit $\phi(x)=f(x,x,\frac {1}{x^2})$.

Alors $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\phi (x)=0$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\phi (x)=1$.

Il est peut-être plus simple de chercher le maximum de $$
\frac 1 {y+z+t}+\frac1 {z+t+x}+\frac 1 {t+x+y}+\frac1 {x+y+z} $$ avec $xyzt= 1$

Posons $s=x+y+z$ et $t=xy+yz+zx$. Après simplification, l'inégalité à démontrer devient $2s+3\leqslant st$. Or, $s\geqslant 3$ et $t\geqslant 3$ d'après l'inégalité arithmético-géométrique, donc $st\geqslant 3s=2s+s\geqslant 2s+3$.

Oui, ou alors, on pose $a^3 =x, b^3=y,c^3=z$, et donc $abc=1$.

On a $a^3+b^3 =(a+b)((a-b)^2+ab) \geq (a+b)ab = \dfrac{a+b}{c}$.

Alors $\dfrac{1}{a^3+b^3+1} \leq \dfrac{c}{a+b+c}$.

De même $\dfrac{1}{b^3+c^3+1} \leq \dfrac{a}{a+b+c}$ et $\dfrac{1}{a^3+c^3+1} \leq \dfrac{b}{a+b+c}$.
On somme tout ça, et c'est fini.

Pierre.

Autre méthode avec le lagrangien:
fonction à optimiser :$U= \frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}+\frac{1}{x+y+1}$
contrainte $xyz=1 $

$L= \frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}+\frac{1}{x+y+1}+\lambda \left( x\,y\,z-1\right)$

le système classique donne 4 équations:
$eq1: -\frac{1}{{\left( z+x+1\right) }^{2}}-\frac{1}{{\left( x+y+1\right) }^{2}} + \lambda y z = 0$
$eq2: -\frac{1}{{\left( z+y+1\right) }^{2}}-\frac{1}{{\left( y+x+1\right) }^{2}}+ \lambda x z=0$
$ eq3: -\frac{1}{{\left( z+y+1\right) }^{2}}-\frac{1}{{\left( z+x+1\right) }^{2}}+ \lambda x y =0$
$eq4: x y z-1 =0 $

La seule solution réelle de ce système est \[ \lbrace ( x = 1, y = 1, z = 1, \lambda =\dfrac{2}{9} ) \rbrace \]

On vérifie facilement que ce point critique ( candidat à l'optimum ) correspond effectivement à un maximum qui vaut 1.

Cordialement.

Edit/ coquilles dans equations
PS/
Mon précédent post n'était pas aussi fantaisiste qu'il n'y paraissait , il faisait allusion à la même méthode avec un terme en plus en introduisant la variable t , ce qui n'a comme conséquence que d'augmenter les temps de calcul en raison du degré des équations à résoudre.