Inégalité

Bonjour

Je voudrais prouver que pour tout $z \in \mathbb{C}$ , on a $|e^z-1|\leq e^{|z|}-1$.
J'écris que $|e^z-1| =|\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n!}|$ et puisque la série de droite est absolument convergente , j'en déduis que : $|\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n!}| \leq \sum_{n \geq 1} \frac{|z|^n}{n!}$ , et le membre de droite est bien égal à
$\sum_{n \geq 0} \frac{|z|^n}{n!}-1=e^{|z|}-1$. Est-ce correcte? merci