La fonction :
\[\begin{array}{cccc} f \ : & X \longrightarrow \mathbf{R} \\ & u \longmapsto -\lVert u \rVert_X \end{array}\]
satisfait, pour tout élément \(u\) de \(X\):
\[f(u) \geqslant \left(1-\frac{15}{2}\right)\lVert u \rVert_X\]
et n'est pas bornée inférieurement…
Si on me demande de démontrer que $f$ est bornée inférieurement, je fais par l'absurde, je dis supposons qu'il existe une suite $(u_n)\subset X$ telle que $f(u_n)\to -\infty$ lorsque $\|u_n\|\to+\infty $, et j'obtiens une contradiction avec le fait que $(1-\frac{b}{a})>0$ c'est ça ?
Réponses
Pour que le facteur \(1-\frac ba\) soit positif…
Il suffit de considérer $f(x) = (1- \frac{b}{a} ) \| x\|$, qui tend vers $- \infty$ quand $\|x\| \to + \infty$
\[\begin{array}{cccc} f \ : & X \longrightarrow \mathbf{R} \\ & u \longmapsto -\lVert u \rVert_X \end{array}\]
satisfait, pour tout élément \(u\) de \(X\):
\[f(u) \geqslant \left(1-\frac{15}{2}\right)\lVert u \rVert_X\]
et n'est pas bornée inférieurement…