Fonction méromorphe

Bonsoir,

Dans le cadre de la préparation à l'agrégation (préparant une question de khôlle) je bute.

La question est la suivante :
Soit $O$ un ouvert de $\mathbb C$ et $f \in \mathcal H(O)$ montrer que $\frac{f'}{f}$ est méromorphe sur $O$ et calculer ses résidus aux pôles.

Mais j'ai un problème il faudrait pas dire que $O$ est connexe pour dire que la fonction est méromorphe, en disant que le principe des zéros isolés assure l'ensemble des zéros de $f$ à être discret (étant fermé en tant qu'image réciproque d'un fermé), ou alors il faudrait que $f$ soit méromorphe sans que $O$ soit connexe et dans ce cas en développant f en série autour de ses pôles le résultat est clair , ou bien il y a un truc qui m'échappe dans ce cas je vous remercie d'avance de votre éclairage.
Sinon pour le calcul des résidus c'est ok.

Merci d'avance.