Analyticité d'une SE

C'est pas les même coeff ! ::o

Bah ça permet de changer l'origine du développement en série entière. C'est ce qui s'appelle être une fonction analytique. C'est un type très particulier de fonctions qui ont des propriétés très particulières (entre autres, principe des zéros isolés, principe du maximum, formules de Cauchy).

Je ne sais pas quel est ton niveau mais c'est la base de l'analyse complexe.

EDIT : je viens de voir le titre donc a priori tu connais tout ça... On peut par exemple se servir de ça pour obtenir des estimations a priori non triviales sur une telle fonction si on se sert uniquement du développement connu au départ.

Bonjour,

Le développement :
\[\log(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{(z-1)^n}{n}\]
est valable dans le disque ouvert \(D\) défini par : \(\lvert z-1 \rvert<1\).

Dans \(U\), je considère le point : \(a =3/2\), alors :
\[\log(z) = \log(a) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{(z-a)^n}{na^n}\]
est valable dans le disque ouvert \(D'\) défini par : \(\lvert z-(3/2) \rvert<3/2\).

Le disque \(D'\) contient strictement le disque \(D\) : le second développement permet d'aller plus loin…

Pour le cas du logarithme, $r_0$ est infini. Pour une fraction rationnelle quelconque aussi d'ailleurs (c'est presque pareil que le log, à une dérivation près qui ne change pas les rayons de convergence) puisque si on fixe un point $a$, le rayon de convergence du développement de Taylor d'une fraction en $a$ est la distance de $a$ au pôle de la fraction.

Ce qui m'échappe ici, c'est une question non mathématique : pourquoi es-tu content d'avoir un développement en série sur un disque plus grand quand ta question initiale portait justement sur l'utilité d'avoir des développements en série entière ?
(Si je paraphrase votre conversation avec un peu de mauvaise foi, ça donne : « J'aime pas les petites voitures. – Tiens, si tu as une petite voiture grise, je t'en donne une de toutes les couleurs. – Ah ! Merci ! ») Pour autant, la réponse de gb est très pertinente.

En voici une autre. Sauf erreur, le développement en série entière au voisinage d'un point quelconque permet de déduire facilement le théorème de prolongement analytique (si ça existe, c'est unique).

À la base, mettons l'unicité du développement en série entière : si une série entière $f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$ a un rayon de convergence $r>0$ et si $(z_p)_{p\ge0}$ est une suite de zéros distincts de $f$ (i.e. $f(z_p)=0$ pour tout $p$) qui converge vers $0$, alors $a_n=0$ pour tout $n$. Ça, c'est élémentaire par récurrence sur $n$. Partant de là, on peut en recollant des développements en série sur des disques qui vont bien en déduire que si l'ensemble des zéros d'une fonction analytique sur un ouvert connexe possède un point d'accumulation, alors la fonction est nulle. D'où l'unicité d'un prolongement s'il en existe un.

Il ne faut pas douter parce qu'un inconnu vous parle de petites voitures ! C'est moi qui ai interprété la question initiale de façon un peu trop large, voilà tout.