Fonction continue

Bonjour

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\rightarrow\mathbb R$ croissante. On suppose que $f(I)$ soit un intervalle. On suppose (par l'absurde) $f$ non continue. Il existe alors $a\in I$ tel que $\lim_a f\neq f(a)$. Comme $f$ est croissante, l'une au moins des deux inégalités suivantes est définie et vérifiée : $\lim_{a^{-}}f<f(a)<\lim_{a^{+}}f$. Supposons par exemple que $\lim_{a^{-}}f<f(a)$. Je n'arrive pas à formaliser plus précisément la contradiction en prenant un élément $y\in ]\lim_{a^{-}}f,f(a)[$. Déjà, pourquoi est-ce que $y$ est un élément de l'image de $f$ ? Je sais que l'image est un intervalle donc convexe mais comme $\lim_{a^{-}}f$ n'est pas un élément de l'image ça me bloque.

Merci