Trouver une constante

naima12 · January 2018

Bonjour
Soit $b$ un paramètre dans $\mathbb{R}$.
Je veux montrer qu'il existe une constante $c>0$ qui ne dépend pas de $b$ telle que pour tout $0<t<1$ $$
b^2\exp{\bigg(\Big(\frac{\cosh(t)-1}{\sinh(t)}-\frac{t}{2}\Big)b^2\bigg)}\le c\frac{1}{t^3}.
$$ Voilà ce que j'ai fait. On a $$\frac{\cosh(t)-1}{\sinh(t)}=\frac{t}{2}\Big(1-\frac{t^2}{12}+\mathcal{O}(t^4)\Big)
$$ Mais je ne sais pas comment conclure.
Merci de m'aider.

gb · January 2018

Bonjour,

Un développement limité précise le comportement de la fonction au voisinage de 0, il ne peut pas permettre d'obtenir un résultat pour tout nombre réel \(t/) appartenant à ]0,1[.

Poirot · January 2018

Aucune chance de trouver un $c$ ne dépendant pas de $b$, puisque tu peux faire tendre $b$ vers $\pm \infty$ et obtenir une quantité qui tend vers $+\infty$ indépendamment de $t$.

Tu en as pas marre de chercher à démontrer des trucs farfelus qui n'ont aucune chance de marcher ? On ne fait pas des maths en cherchant des inégalités qui nous arrangeraient bien !

naima12 · January 2018

voila ce que j'ai écrit:

$$b^2t^3\exp{\left(\left(\frac{\cosh(t)-1}{\sinh(t)}-\frac{t}{2}\right)b^2\right)}=b^2\exp\Big((\color{red}{-\frac{t^3}{24}+O(t^5)})b^2\Big)\le b^2t^3 \exp\Big(-\frac{t^3}{24}b^2\Big)\le 24$$

gb · January 2018

naima12 a écrit:

$$b^2\color{red}{t^3}\exp\Big((\color{red}{-\frac{t^3}{24}+O(t^5)})b^2\Big)\le b^2t^3 \exp\Big(-\frac{t^3}{24}b^2\Big)$$

Comment justifies-tu cette inzégalité ?

@Poirot : ton calcul de limite me semble douteux, le coefficient de $b^2$ est négatif dans l'exponentielle.

naima12 · January 2018

@gb, j'ai utilisé le faite que

$\frac{\cosh(t)-1}{\sinh(t)}=\frac{t}{2}\Big(1-\frac{t^2}{12}+\mathcal{O}(t^4)\Big)$ et le fait que la limite de $b^2\color{red}{t^3}\exp\Big(O(t^5))b^2\Big)$ est 0 quant $t$ tend vers 0 donc c'est borné par une constante

Poirot · January 2018

@gb : oui tu as raison j'avais zappé le carré de $b$.

gb · January 2018

Ton inégalité exige que le terme négligé soit négatif ; le fait qu'il soit borné ne suffit pas.
Or le développement de la tangente hyperbolique le donne pour positif…

naima12 · January 2018

D'accord voila une autre méthode que je suis entrain d'essayer

On pose $$ f_b(t) = b^2 t^3 \exp\left[\left(\tanh\tfrac{t}{2}-\tfrac{t}{2}\right)b^2\right] $$
cette fonction est continue et croissante dans $[0,1]$, elle atteint son maximum en $t=1$.<br>
$$ g(b) = f_b(1) = b^2 \exp\left[\left(\tanh\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\right)b^2\right] $$
Je veux ensuite montrer que $g$ est bornée sur $\mathbb{R}$

J'ai calculé

$$g'(b)=\Big(2b+2b^3\left(\tanh\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\right)\Big)\exp\left[\left(\tanh\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\right)b^2\right]=2b\Big(1+b^2\left(\tanh\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\right)\Big)\exp\left[\left(\tanh\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\right)b^2\right] $$

L'unique racine strictement positive de $g'$ est $\xi=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}-\tanh(\frac{1}{2})}}$ qui est un maximum pour $g$ alors $$g(b)\le g(\xi)=\frac{1}{\frac{1}{2}-\tanh(\frac{1}{2})}e^{-1}$$
Merci

gb · January 2018

La nouvelle méthode me semble de loin préférable…

naima12 a écrit:

On pose $$ f_b(t) = b^2 t^3 \exp\left[\left(\tanh\tfrac{t}{2}-\tfrac{t}{2}\right)b^2\right] $$
cette fonction est continue et décroissante dans $[0,1]$, elle atteint son maximum en $t=1$.

Je ne sais pas comment on prouve qu'elle est décroissante, mais, si tel est le cas, elle atteint son maximum en 0.

Je pense qu'il vaut mieux commencer par étudier en fonction de $b$.

Je commence par remarquer que, pour $t$ strictement positif :
\[u(t) = \frac{\cosh t-1}{\sinh t} - \frac{t}{2} = \tanh\frac{t}{2} - \frac{t}{2} < 0.\]

Si $a$ est un nombre réel strictement positif, il est bien connu que la fonction $(x \mapsto xe^{-ax})$ admet $e^{-a}/a$ pour maximum, atteint en $1/a$.

J'en déduis que, pour tout nombre réel $b$, et tout nombre réel $t$ strictement positif:
\[b^2t^3\exp\bigl(u(t)b^2\bigr) \leqslant -\frac{t^3e^{u(t)}}{u(t)} = f(t).\]

Il reste à majorer $f$, ce qui n'est pas très difficile.

naima12 · January 2018

ok, je ne vois pas comment majorer $f$ pouvez vous m'aider?

gb · January 2018

Maintenant le développement limité est utile : il suffit de faire de $f$ une fonction continue sur le compact $[0,1]$.

naima12 · January 2018

On pose

$F(t)= f(t)$ si $t$ est non nul et $F(0)=\lim\limits_{t\to 0} f(t)$

Je ne trouve pas cette limite ?

naima12 · January 2018

@gb, la fonction $f_b$ est croissante. J'ai édité et j'ai terminer la preuve, pouvez vous vérifier avec moi si ce que j'ai écrit est juste. Merci d'avance

gb · January 2018

naima12 a écrit:

$F(0)=\lim\limits_{t\to 0} f(t)$

Je ne trouve pas cette limite ?

Utilise le développement limité de la fonction que j'ai notée $u$ puisque tu l'as calculé.

naima12 · January 2018

J'ai essayé mais je ne trouve pas le résultat, pouvez-vous s'il vous plaît m'aider ?

naima12 · January 2018

la limite est 0

gb · January 2018

Voici le calcul à compléter :
\begin{gather}
u(t) = \frac{\cosh t-1}{\sinh t} - \frac{t}{2} =-\frac{t^3}{12}+O(t^4) \xrightarrow{t\to 0} \ ?? \\
\frac{u(t)}{t^3} =\boxed{\phantom{-\frac{t^3}{12}+O(t^4)}} \xrightarrow{t\to 0} \ ?? \\
f(t) = -\frac{t^3}{u(t)} e^{u(t)} = \boxed{\phantom{-\frac{t^3}{12}+O(t^4)}} \xrightarrow{t\to 0} \ ??
\end{gather}
et la limite n'est pas nulle.

naima12 · January 2018

Je trouve 12

gb · January 2018

En fait, la bonne valeur est 24 parce que je ne sais pas calculer (il ne faut jamais avoir confiance en mes résultats numériques) et que le développement limité de $u$ est :
\[u(t) = \frac{\cosh t-1}{\sinh t} - \frac{t}{2} =-\frac{t^3}{12}+O(t^4).\]

Trouver une constante

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