Dérivées partielles / Divergence
Bonjour à tous,
j'ai du mal à résoudre un exercice portant sur un cours d'équations aux dérivées partielles. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je recopie l'énoncé ci-dessous puis je détaille ce que j'ai fait et finalement ce qui me pose problème.
Énoncé:
Soient $v \ : \ [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3 \ \to \ \mathbb{R}^3$ et $p \ : \ [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3 \ \to \ \mathbb{R}$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ à support compact dans $[0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3$, vérifiant $$\partial_t v \ + \ div (v\otimes v)=\nabla p, \ \ \ \ \ \ (t,x)\in [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3$$ et $$div \ v(t,x)=0, \ \ \ \ \ \ (t,x)\in [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3$$
Ici la notation $v\otimes v$ signifie la matrice de taille 3, dont l'élément $(i,j)$ est $v_iv_j$, pour tout $1\leq i,j \leq 3$ et la divergence d'une matrice est, par définition, le vecteur obtenu en prenant la divergence de chaque ligne $$(div(v\otimes v))_i=\sum\limits_{j=1}^3 \partial_{x_j} (v_iv_j), \ \ \ \ \ 1\leq i \leq 3.$$
1. Soient $\xi = \xi (x) \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $\eta =\eta(x) \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ deux champs de vecteurs de classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^3)$. Calculer $$div(\xi \otimes \eta ) \ - \ (\partial \xi )\eta \ - \ (div \ \eta )\xi .$$
Ici $(\xi \otimes \eta )_{ij} = \xi_i \eta_j$, $1\leq i,j \leq 3$.
2. En particulier calculer $$div(v\otimes v ) \ - \ (\partial v )v.$$
3. Montrer que pour tout $t\in [0,T]$ on a $$\int_{\mathbb{R}^3} \nabla p(t,x) \cdot v(t,x) \ dx=0.$$
4. Montrer que pour tout $t\in [0,T]$ on a $$\int_{\mathbb{R}^3} div(v \otimes v) \cdot v(t,x) \ dx=0.$$
5. En déduire que pour tout $t\in [0,T]$ on a $$\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|v(t,x)|^2}{2} \ dx = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{|v(0,x)|^2}{2} \ dx.$$
Ce que j'ai fait:
1. Notons $x=(x_1,x_2,x_3) \ \in \mathbb{R}^3$ et notons respectivement $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ et $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ les fonctions composantes de $\xi$ et $\eta$, c'est-à-dire les fonctions telles que:
$\xi \ : \ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \ \mapsto \ \begin{pmatrix} \xi_1(x_1,x_2,x_3)\\ \xi_2(x_1,x_2,x_3)\\ \xi_3(x_1,x_2,x_3) \end{pmatrix}$ et $\eta \ : \ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \ \mapsto \ \begin{pmatrix} \eta_1(x_1,x_2,x_3)\\ \eta_2(x_1,x_2,x_3)\\ \eta_3(x_1,x_2,x_3) \end{pmatrix}$.
Alors:
$\displaystyle div(\xi \otimes \eta ) \ - \ (\partial \xi )\eta \ - \ (div \ \eta )\xi \ = \ \begin{pmatrix} \sum\limits_{j=1}^3 \partial_{x_j} (\xi_1 \eta_j) \\ \sum\limits_{j=1}^3 \partial_{x_j} (\xi_2 \eta_j) \\ \sum\limits_{j=1}^3 \partial_{x_j} (\xi_3 \eta_j) \end{pmatrix} \ - \ \begin{pmatrix} \frac{\partial \xi_1}{\partial x_1} & \frac{\partial \xi_1}{\partial x_2} & \frac{\partial \xi_1}{\partial x_3}\\ \frac{\partial \xi_2}{\partial x_1} & \frac{\partial \xi_2}{\partial x_2} & \frac{\partial \xi_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial \xi_3}{\partial x_1} & \frac{\partial \xi_3}{\partial x_2} & \frac{\partial \xi_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3 \end{pmatrix} \ - \ \left ( \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \right ) \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \end{pmatrix}$
$\displaystyle " \ \ = \ \begin{pmatrix} \frac{\partial \xi_1 \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_1 \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_1 \eta_3}{\partial x_3}\\ \frac{\partial \xi_2 \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_2 \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_2 \eta_3}{\partial x_3} \\ \frac{\partial \xi_3 \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_3 \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_3 \eta_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \ - \ \begin{pmatrix} \frac{\partial \xi_1}{\partial x_1} \eta_1 + \frac{\partial \xi_1}{\partial x_2} \eta_2 + \frac{\partial \xi_1}{\partial x_3} \eta_3 \\
\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1} \eta_1 + \frac{\partial \xi_2}{\partial x_2} \eta_2 + \frac{\partial \xi_2}{\partial x_3} \eta_3 \\ \frac{\partial \xi_3}{\partial x_1} \eta_1 + \frac{\partial \xi_3}{\partial x_2} \eta_2 + \frac{\partial \xi_3}{\partial x_3} \eta_3 \end{pmatrix} \ - \ \begin{pmatrix} \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_1 + \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_1 + \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_1 \\ \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_2 + \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_2 + \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_2 \\ \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_3 + \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_3 + \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_3 \end{pmatrix}$.
D'où, en dérivant à l'intérieur du premier terme de cette différence puis en sommant les vecteurs:
$\displaystyle " \ = \begin{pmatrix} \frac{\partial \xi_1}{\partial x_1} \eta_1 + \xi_1 \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_1}{\partial x_2} \eta_2 + \xi_1 \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_1}{\partial x_3} \eta_3 + \xi_1 \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} - \frac{\partial \xi_1}{\partial x_1} \eta_1 - \frac{\partial \xi_1}{\partial x_2} \eta_2 - \frac{\partial \xi_1}{\partial x_3} \eta_3 - \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_1 - \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_1 - \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_1 \\ \frac{\partial \xi_2}{\partial x_1} \eta_1 + \xi_2 \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_2}{\partial x_2} \eta_2 + \xi_2 \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_2}{\partial x_3} \eta_3 + \xi_2 \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} - \frac{\partial \xi_2}{\partial x_1} \eta_1 - \frac{\partial \xi_2}{\partial x_2} \eta_2 - \frac{\partial \xi_2}{\partial x_3} \eta_3 - \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_2 - \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_2 - \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_2 \\ \frac{\partial \xi_3}{\partial x_1} \eta_1 + \xi_3 \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_3}{\partial x_2} \eta_2 + \xi_3 \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_3}{\partial x_3} \eta_3 + \xi_3 \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} - \frac{\partial \xi_3}{\partial x_1} \eta_1 - \frac{\partial \xi_3}{\partial x_2} \eta_2 - \frac{\partial \xi_3}{\partial x_3} \eta_3 - \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_3 - \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_3 - \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_3 \end{pmatrix}$
$\displaystyle " \ = \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
On en conclut donc que $\displaystyle div(\xi \otimes \eta ) \ - \ (\partial \xi )\eta \ - \ (div \ \eta )\xi \ = 0$.
Ce qui me pose problème:
Vu comment la question 2. est posée, j'ai d'abord pensé qu'il fallait utiliser ce que je viens de trouver à la 1. pour dire que:
$\displaystyle div(v \otimes v ) \ - \ (\partial v )v \ = \ (div \ v )v = 0$ puisque $div \ v=0$.
Cependant, cela ne marche pas vraiment car $v$ est une fonction définie sur $[0,T] \times \mathbb{R}^3$ alors que $\xi$ et $\eta$ étaient définies sur $\mathbb{R}^3$.
Je me suis alors lancé dans le calcul et concernant le terme $(\partial v )v$ j'ai $\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial v_1}{\partial t} & \frac{\partial v_1}{\partial x_1} & \frac{\partial v_1}{\partial x_2} & \frac{\partial v_1}{\partial x_3}\\ \frac{\partial v_2}{\partial t} & \frac{\partial v_2}{\partial x_1} & \frac{\partial v_2}{\partial x_2} & \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial v_3}{\partial t} & \frac{\partial v_3}{\partial x_1} & \frac{\partial v_3}{\partial x_2} & \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$.
Ce produit n'est pas possible donc je me dis qu'il y a quelque chose que je n'ai pas compris. J'ai l'impression qu'il ne faut pas tenir compte de la variable $t$ mais je ne sais pas pourquoi. Par ailleurs, si j'applique la définition du gradient de mon cours à $p$, qui est:
Pour toute fonction $u=u(x) \ : \ \Omega \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$, on appelle gradient le champ de vecteurs, noté $\nabla u$, défini par $$\nabla u(x)={}^t \left ( \frac{\partial u}{\partial x_1}(x),..., \frac{\partial u}{\partial x_d}(x) \right ) , \ \ \ \ x\in \Omega .$$
J'obtiens $\displaystyle \nabla p= \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial t}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_1}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_2}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_3}(x) \end{pmatrix}$. Et l'équation de l'énoncé $\partial_t v \ + \ div (v\otimes v)=\nabla p, \ \ \ \ \ \ (t,x)\in [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3$ n'aurait alors pas de sens car le membre de gauche serait un vecteur de $\mathbb{R}^3$ et le membre de droite un vecteur de $\mathbb{R}^4$.
De plus, j'ai vu sur wiki (je sais il faut se méfier de ce qu'on lit sur wiki !!), que le gradient d'une fonction scalaire $u(x,y,z,t)$ est $\displaystyle \nabla u(x,y,z,t)=\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} \end{pmatrix}$ et donc la variable temps n'a pas été pris en compte.
Je suis un peu perdu comme vous le voyez, pourriez-vous m'aider à comprendre s'il vous plaît ?
j'ai du mal à résoudre un exercice portant sur un cours d'équations aux dérivées partielles. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je recopie l'énoncé ci-dessous puis je détaille ce que j'ai fait et finalement ce qui me pose problème.
Énoncé:
Soient $v \ : \ [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3 \ \to \ \mathbb{R}^3$ et $p \ : \ [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3 \ \to \ \mathbb{R}$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ à support compact dans $[0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3$, vérifiant $$\partial_t v \ + \ div (v\otimes v)=\nabla p, \ \ \ \ \ \ (t,x)\in [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3$$ et $$div \ v(t,x)=0, \ \ \ \ \ \ (t,x)\in [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3$$
Ici la notation $v\otimes v$ signifie la matrice de taille 3, dont l'élément $(i,j)$ est $v_iv_j$, pour tout $1\leq i,j \leq 3$ et la divergence d'une matrice est, par définition, le vecteur obtenu en prenant la divergence de chaque ligne $$(div(v\otimes v))_i=\sum\limits_{j=1}^3 \partial_{x_j} (v_iv_j), \ \ \ \ \ 1\leq i \leq 3.$$
1. Soient $\xi = \xi (x) \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $\eta =\eta(x) \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ deux champs de vecteurs de classe $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^3)$. Calculer $$div(\xi \otimes \eta ) \ - \ (\partial \xi )\eta \ - \ (div \ \eta )\xi .$$
Ici $(\xi \otimes \eta )_{ij} = \xi_i \eta_j$, $1\leq i,j \leq 3$.
2. En particulier calculer $$div(v\otimes v ) \ - \ (\partial v )v.$$
3. Montrer que pour tout $t\in [0,T]$ on a $$\int_{\mathbb{R}^3} \nabla p(t,x) \cdot v(t,x) \ dx=0.$$
4. Montrer que pour tout $t\in [0,T]$ on a $$\int_{\mathbb{R}^3} div(v \otimes v) \cdot v(t,x) \ dx=0.$$
5. En déduire que pour tout $t\in [0,T]$ on a $$\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|v(t,x)|^2}{2} \ dx = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{|v(0,x)|^2}{2} \ dx.$$
Ce que j'ai fait:
1. Notons $x=(x_1,x_2,x_3) \ \in \mathbb{R}^3$ et notons respectivement $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ et $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ les fonctions composantes de $\xi$ et $\eta$, c'est-à-dire les fonctions telles que:
$\xi \ : \ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \ \mapsto \ \begin{pmatrix} \xi_1(x_1,x_2,x_3)\\ \xi_2(x_1,x_2,x_3)\\ \xi_3(x_1,x_2,x_3) \end{pmatrix}$ et $\eta \ : \ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \ \mapsto \ \begin{pmatrix} \eta_1(x_1,x_2,x_3)\\ \eta_2(x_1,x_2,x_3)\\ \eta_3(x_1,x_2,x_3) \end{pmatrix}$.
Alors:
$\displaystyle div(\xi \otimes \eta ) \ - \ (\partial \xi )\eta \ - \ (div \ \eta )\xi \ = \ \begin{pmatrix} \sum\limits_{j=1}^3 \partial_{x_j} (\xi_1 \eta_j) \\ \sum\limits_{j=1}^3 \partial_{x_j} (\xi_2 \eta_j) \\ \sum\limits_{j=1}^3 \partial_{x_j} (\xi_3 \eta_j) \end{pmatrix} \ - \ \begin{pmatrix} \frac{\partial \xi_1}{\partial x_1} & \frac{\partial \xi_1}{\partial x_2} & \frac{\partial \xi_1}{\partial x_3}\\ \frac{\partial \xi_2}{\partial x_1} & \frac{\partial \xi_2}{\partial x_2} & \frac{\partial \xi_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial \xi_3}{\partial x_1} & \frac{\partial \xi_3}{\partial x_2} & \frac{\partial \xi_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3 \end{pmatrix} \ - \ \left ( \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \right ) \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \end{pmatrix}$
$\displaystyle " \ \ = \ \begin{pmatrix} \frac{\partial \xi_1 \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_1 \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_1 \eta_3}{\partial x_3}\\ \frac{\partial \xi_2 \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_2 \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_2 \eta_3}{\partial x_3} \\ \frac{\partial \xi_3 \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_3 \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_3 \eta_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \ - \ \begin{pmatrix} \frac{\partial \xi_1}{\partial x_1} \eta_1 + \frac{\partial \xi_1}{\partial x_2} \eta_2 + \frac{\partial \xi_1}{\partial x_3} \eta_3 \\
\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1} \eta_1 + \frac{\partial \xi_2}{\partial x_2} \eta_2 + \frac{\partial \xi_2}{\partial x_3} \eta_3 \\ \frac{\partial \xi_3}{\partial x_1} \eta_1 + \frac{\partial \xi_3}{\partial x_2} \eta_2 + \frac{\partial \xi_3}{\partial x_3} \eta_3 \end{pmatrix} \ - \ \begin{pmatrix} \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_1 + \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_1 + \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_1 \\ \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_2 + \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_2 + \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_2 \\ \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_3 + \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_3 + \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_3 \end{pmatrix}$.
D'où, en dérivant à l'intérieur du premier terme de cette différence puis en sommant les vecteurs:
$\displaystyle " \ = \begin{pmatrix} \frac{\partial \xi_1}{\partial x_1} \eta_1 + \xi_1 \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_1}{\partial x_2} \eta_2 + \xi_1 \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_1}{\partial x_3} \eta_3 + \xi_1 \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} - \frac{\partial \xi_1}{\partial x_1} \eta_1 - \frac{\partial \xi_1}{\partial x_2} \eta_2 - \frac{\partial \xi_1}{\partial x_3} \eta_3 - \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_1 - \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_1 - \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_1 \\ \frac{\partial \xi_2}{\partial x_1} \eta_1 + \xi_2 \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_2}{\partial x_2} \eta_2 + \xi_2 \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_2}{\partial x_3} \eta_3 + \xi_2 \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} - \frac{\partial \xi_2}{\partial x_1} \eta_1 - \frac{\partial \xi_2}{\partial x_2} \eta_2 - \frac{\partial \xi_2}{\partial x_3} \eta_3 - \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_2 - \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_2 - \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_2 \\ \frac{\partial \xi_3}{\partial x_1} \eta_1 + \xi_3 \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \xi_3}{\partial x_2} \eta_2 + \xi_3 \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \xi_3}{\partial x_3} \eta_3 + \xi_3 \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} - \frac{\partial \xi_3}{\partial x_1} \eta_1 - \frac{\partial \xi_3}{\partial x_2} \eta_2 - \frac{\partial \xi_3}{\partial x_3} \eta_3 - \frac{\partial \eta_1}{\partial x_1} \xi_3 - \frac{\partial \eta_2}{\partial x_2} \xi_3 - \frac{\partial \eta_3}{\partial x_3} \xi_3 \end{pmatrix}$
$\displaystyle " \ = \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
On en conclut donc que $\displaystyle div(\xi \otimes \eta ) \ - \ (\partial \xi )\eta \ - \ (div \ \eta )\xi \ = 0$.
Ce qui me pose problème:
Vu comment la question 2. est posée, j'ai d'abord pensé qu'il fallait utiliser ce que je viens de trouver à la 1. pour dire que:
$\displaystyle div(v \otimes v ) \ - \ (\partial v )v \ = \ (div \ v )v = 0$ puisque $div \ v=0$.
Cependant, cela ne marche pas vraiment car $v$ est une fonction définie sur $[0,T] \times \mathbb{R}^3$ alors que $\xi$ et $\eta$ étaient définies sur $\mathbb{R}^3$.
Je me suis alors lancé dans le calcul et concernant le terme $(\partial v )v$ j'ai $\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial v_1}{\partial t} & \frac{\partial v_1}{\partial x_1} & \frac{\partial v_1}{\partial x_2} & \frac{\partial v_1}{\partial x_3}\\ \frac{\partial v_2}{\partial t} & \frac{\partial v_2}{\partial x_1} & \frac{\partial v_2}{\partial x_2} & \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial v_3}{\partial t} & \frac{\partial v_3}{\partial x_1} & \frac{\partial v_3}{\partial x_2} & \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$.
Ce produit n'est pas possible donc je me dis qu'il y a quelque chose que je n'ai pas compris. J'ai l'impression qu'il ne faut pas tenir compte de la variable $t$ mais je ne sais pas pourquoi. Par ailleurs, si j'applique la définition du gradient de mon cours à $p$, qui est:
Pour toute fonction $u=u(x) \ : \ \Omega \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$, on appelle gradient le champ de vecteurs, noté $\nabla u$, défini par $$\nabla u(x)={}^t \left ( \frac{\partial u}{\partial x_1}(x),..., \frac{\partial u}{\partial x_d}(x) \right ) , \ \ \ \ x\in \Omega .$$
J'obtiens $\displaystyle \nabla p= \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial t}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_1}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_2}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_3}(x) \end{pmatrix}$. Et l'équation de l'énoncé $\partial_t v \ + \ div (v\otimes v)=\nabla p, \ \ \ \ \ \ (t,x)\in [0,T] \ \times \ \mathbb{R}^3$ n'aurait alors pas de sens car le membre de gauche serait un vecteur de $\mathbb{R}^3$ et le membre de droite un vecteur de $\mathbb{R}^4$.
De plus, j'ai vu sur wiki (je sais il faut se méfier de ce qu'on lit sur wiki !!), que le gradient d'une fonction scalaire $u(x,y,z,t)$ est $\displaystyle \nabla u(x,y,z,t)=\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} \end{pmatrix}$ et donc la variable temps n'a pas été pris en compte.
Je suis un peu perdu comme vous le voyez, pourriez-vous m'aider à comprendre s'il vous plaît ?
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Réponses
$$ \partial_t + P v = \cdots$$
où $P$ est un opérateur différentiel (genre $\nabla v$, $\Delta v$, $\mathrm{div}(v \otimes v)$, $\mathrm{rot}\,v$, etc.) il est toujours sous-entendu que cet opérateur n'agit que sur les variables d'espaces.
Pareil quand tu écris
$$\mathrm{div}\,v(t,x) = 0$$
il faut comprendre la divergence sur les variables d'espaces, pas de temps.
Merci pour ton aide Héhéhé ! Cependant je dois avouer que cela me perturbe un peu ce "sous-entendu"...
Est-ce que cela vaut seulement pour les équations de la forme que vous citez ou il y en a-t-il d'autres où le cas se présentera aussi ?
J'en rajoute peut-être une couche mais j'ai l'impression que ce n'est vraiment pas rigoureux.. avec les définitions que j'ai, la façon dont je résous l'exercice n'est pas correcte.. Il y aurait-il une raison plus profonde au fait de ne pas tenir compte de cette variable temps alors que c'est pourtant une variable de la fonction inconnue ? Cela me permettrait de justifier qu'à la question 2 j'identifie une fonction de $[0,T] \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ à une fonction $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$.
Du coup d'après la question 1, $\displaystyle div(v \otimes v ) \ - \ (\partial v )v \ = \ (div \ v )v $ et on en conclut alors que $\displaystyle div(v \otimes v ) \ - \ (\partial v )v \ = \ 0$ puisque $div \ v=0$.
Cependant pour la question 3 je sèche, auriez-vous une idée s'il vous plaît ?
Elles ne jouent pas le même rôle aussi bien d'un point de vue des maths que de la modélisation physique !
Ce qui me gêne c'est vraiment que je ne peux pas appliquer les définitions de mon cours et je ne sais pas vraiment pourquoi. Par exemple, voici la définition de mon cours pour le gradient:
Pour toute fonction $u=u(x) \ : \ \Omega \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$, on appelle gradient le champ de vecteurs, noté $\nabla u$, défini par $$\nabla u(x)={}^t \left ( \frac{\partial u}{\partial x_1}(x),..., \frac{\partial u}{\partial x_d}(x) \right ) , \ \ \ \ x\in \Omega .$$
Donc quand je l'applique je trouve que $\displaystyle \nabla p (x)= \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial t}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_1}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_2}(x) \\ \frac{\partial p}{\partial x_3}(x) \end{pmatrix}$ où $x\in [0,T] \times \mathbb{R}^3$.
Et pour je ne sais quelle raison, ceci est faux et il ne faut pas tenir compte de la variable temps, qui est pourtant bien une variable de la fonction $p$. Je trouve cela très perturbant !
Le produit scalaire sur $[0,T] \times \mathbb{R}^3$ serait le produit scalaire usuel de $\mathbb{R}^4$ restreint à $[0,T] \times \mathbb{R}^3$.
Je ne comprends pas pourquoi tu parles du produit scalaire usuel de $\mathbb{R}^3$ alors que $p$ est définie sur un sous-ensemble de $\mathbb{R}^4$.
Je ne sais pas pourquoi tu cherches à tout prix à appliquer ta formule du gradient sur la fonction $p$ alors qu'elle n'est pas définie sur un ouvert de $\R^4$ (tu admettras que $[0,T] \times \R^3$ n'est pas du tout un ouvert de $\R^4$...). Ça n'a pas de sens !
Pourquoi ce qui ne te pose pas de problème avec $\partial_t v$ t'en pose avec $\nabla p$ ? Dans le premier cas on dérive par rapport à $t$ avec les variables d'espaces fixés, et dans le second c'est le contraire !
Si ca peut t'aider tu peux indicer les opérateurs différentiels avec la variable $x$ pour insister sur le fait qu'on ne dérive que par rapport à $x$: note $\nabla_x p$ au lieu de $\nabla p$. En général on ne note pas cette dépendance car elle alourdit les notations rapidement.
Oui en effet j'applique une formule qui n'est même pas bonne dans le cas qui se présente dans l'exercice, je n'avais même pas remarqué !
Je n'ai pas de problème avec $\partial_t v$ car c'est très clair: $v$ est une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}^3$ donc on peut l'écrire à l'aide de ses trois fonctions composantes. Il s'agit donc de dériver par rapport à $t$ chacune des composantes.
Ici le problème que j'ai avec le gradient ne se pose pas.
Du coup je suis allé voir d'autres définitions du gradient et d'où est-ce que cela vient et je comprends mieux maintenant. D'ailleurs je comprends aussi pourquoi tu m'as parlé de produit scalaire d'un coup GaBuZoMeu. Merci à vous deux pour votre aide !
En revanche je sèche toujours pour la question 3, auriez-vous une piste pour m'aider à avancer s'il vous plaît ?