vérification d'une primitive

Bonjour $$
\int {\frac{{dx}}{{(9 + 25x^2 )\sqrt {1 + x^2 } }} = \frac{1}{{12}}} \arctan \Big(\frac{{4x}}{{3\sqrt {1 + x^2 } }}\Big)$$ [small]d'après wolfram[/small]

On donne le changement de variable
$ x^{ - 1} = \sqrt {t^2 - 1},\quad \frac{1}{x} = \sqrt {t^2 - 1}, \quad - \frac{{dx}}{{x^2 }} = \frac{t}{{\sqrt {t^2 - 1} }}dt $
$ \displaystyle dx = - \frac{{x^2 t}}{{\sqrt {t^2 - 1} }}dt = - \frac{1}{{t^2 - 1}}\frac{t}{{\sqrt {t^2 - 1} }}dt $
$\displaystyle \int {\frac{1}{{(\frac{{9t^2 - 9 + 25}}{{t^2 - 1}})}}} \frac{1}{{\frac{{\sqrt {t^2 - 1 + 1} }}{{\sqrt {t^2 - 1} }}}}\left( { - \frac{1}{{t^2 - 1}}\frac{t}{{\sqrt {t^2 - 1} }}} \right)dt $
toutes simplifications faites je trouve et en retour à $x$
$\displaystyle = - \int {\frac{1}{{9t^2 + 16}}} dt = - \frac{1}{{12}}\arctan \left( {\frac{{3\sqrt {1 + x^2 } }}{{4x}}} \right)$
Je n'arrive pas à cerner mon erreur.
Désolé pour la mise en forme.