intégration

Bonjour

Soient $\left( a,b \right) \in\mathbb{R^2},\ a<b,\quad f:\left[ a,b \right] \longrightarrow \mathbb R,\ f \mathcal C^1 ,\quad f\left( a \right) =0.$
On note $\displaystyle F:\left[ a,b \right] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x\longmapsto F\left( x \right) =\int _{ a }^{ x }{ \left| f'\left( t \right) \right| dt }$
a) Montrer $ \forall x\in \left[ a,b \right] ,\ \left| f\left( x \right) \right| \le F\left( x \right).\quad$ (c'est fait).
b) Déduire $\ \displaystyle \int _{ a }^{ b }{ \left| f\left( x \right) f'\left( x \right) \right| dx }\le \frac { b-a }{ 2 } \int _{ a }^{ b }{ \left( f'\left( x \right) \right) ^{ 2 } } dx.$

J'ai commencer à écrire :
$\displaystyle \Rightarrow \int _{ a }^{ b }{ \left| f\left( x \right) \right| \,\left| f'\left( x \right) \right| dx } \le \int _{ a }^{ b }{ F\left( x \right) \left| f'\left( x \right) \right| dx }$
Je ne sais pas calculer l'intégrale de droite, de plus j'ai du mal à visualiser l'obtention du coefficient $1/2$. Après je me doute qu'il faut passer par CS.
jJe précise que je ne suis pas scolarisé
Merci pour toute aide.