Produit scalaire
Bonsoir
Dans le cadre d'un cours d'analyse, j'ai du mal à comprendre un point précis de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel $E$.
Soit $E$, un espace vectoriel. Un produit scalaire sur $E$ est une loi $\quad<\cdot,\cdot >\,: E \times E \to \mathbb{C}$ telle que,
\begin{align*}
<e,e > &\ge 0, \quad \forall e \in E\\
<e, f> &= \overline{<f, e>}, \quad \forall e, f \in E\\
<c_1 e_1 + c_2 e_2, f> &= c_1 <e_1, f> + c_2 <e_2, f>, \quad \forall c_1, c_2 \in \mathbb{C},\ \forall e_1, e_2, f \in E
\end{align*}
Durant toute ma scolarité, on m'a toujours dit qu'avec les nombres complexes, on n'a aucune notion de plus grand que ou plus petit que et par conséquent, qu'écrire qu'un nombre complexe est plus grand ou plus petit que quelque chose est absurde. Or, ici, tel qu'il a été défini dans mon cours, visiblement, on affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est plus grand que zéro. Comment se fait-il ?
Dans le cadre d'un cours d'analyse, j'ai du mal à comprendre un point précis de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel $E$.
Soit $E$, un espace vectoriel. Un produit scalaire sur $E$ est une loi $\quad<\cdot,\cdot >\,: E \times E \to \mathbb{C}$ telle que,
\begin{align*}
<e,e > &\ge 0, \quad \forall e \in E\\
<e, f> &= \overline{<f, e>}, \quad \forall e, f \in E\\
<c_1 e_1 + c_2 e_2, f> &= c_1 <e_1, f> + c_2 <e_2, f>, \quad \forall c_1, c_2 \in \mathbb{C},\ \forall e_1, e_2, f \in E
\end{align*}
Durant toute ma scolarité, on m'a toujours dit qu'avec les nombres complexes, on n'a aucune notion de plus grand que ou plus petit que et par conséquent, qu'écrire qu'un nombre complexe est plus grand ou plus petit que quelque chose est absurde. Or, ici, tel qu'il a été défini dans mon cours, visiblement, on affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est plus grand que zéro. Comment se fait-il ?
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Réponses
A priori, c'est juste un complexe en effet. Mais pour être un produit scalaire, il faut que ce soit un réel positif. (Attention on parle du produit d'un élément AVEC LUI-MEME. Le produit en général est bien sûr complexe et pas forcément réel.)
Bonne remarque pour le point 2), merci.
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