Développement en série entière

Bonjour,
Deux choses.
La formule de [large]T[/large]aylor-[large]L[/large]agrange nous donne une condition qui est plus faible que la bornitude uniforme de toutes les dérivées, il suffit que ...(cf.cours)
Après avoir trouvé le bon critère quelle est la valeur de la dérivée n-ième en zéro de cette fonction.
Cordialement.

[Brook Taylor (1685-1731) et Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) prennent toujours une majuscule. AD]

Pour établir le développement en série entière d'une fonction au moyen de la formule de Taylor avec reste intégral(e), on considère le reste $R_n(x)$ de cette formule, et on prouve que pour chaque $x$, ce reste $R_n(x)$ tend vers $0$ quand $n \rightarrow + \infty$.
Pour les fonctions usuelles, cette démonstration est facile, sauf pour la fonction réelle $x \mapsto (1+x)^\alpha$. C'est pourquoi on pourra lui préférer la démonstration avec l'équation différentielle.
Mais si l'on veut malgré tout cette démonstration avec Taylor, j'ai rédigé naguère une démonstration que je joins.
C'était au temps où l'on notait $C_{\alpha}^k$ ce que l'on note aujourd'hui $(_k^{\alpha})$. J'ai la flemme de la recopier, alors je la joins telle quelle.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Pour $a<0$, la fonction $x\mapsto(1-x)^a$ est absolument monotone sur $]-1,1[$ donc DSE (thm de Bernstein) et, pour $a>0$, elle l'est aussi au voisinage de $0$ comme inverse multiplicatif d'une fonction du type précédent. Ensuite, on conclut en remplaçant $x$ par $-x$.

Cordialement, j__j