Développement limité

Bonjour.

Tu as fait un changement de variable qui pose problème, donc il faut faire autre chose. Tu as mis le doigt sur ce qui gène : il y a des termes qui tendent vers l'infini. Et celui qui domine est x². D'où une technique très classique dans les calculs de limites : factoriser x² puis le "sortir" de la racine carrée.

Cordialement.

Et Maple confirme ce que dit WIMS :

> series(exp(1)*sqrt(x^2-x+1)-x*(1+1/x)^x,x=infinity,6);
       exp(1)       exp(1)   289 exp(1)   103 exp(1)   135181 exp(1)      1
 -1/12 ------ + 5/8 ------ - --- ------ + --- ------ - ------ ------ + O(----)
         x             2     720    3     288    4     290304    5         6
                      x            x            x               x         x

@luiaop : Tu as su utiliser l'indication et faire les calculs jusqu'au bout. Les résultats que tu trouves sont plausibles, à défaut d'être justes. De plus, tu as une bonne initiative : vérifier les calculs autrement qu'en les refaisant, ici en traçant des courbes.

Pourtant, je trouve que tu manques un peu de lucidité. La seule façon dont tu présentes la réponse [\frac{3e}{8x^2} + \frac{5}{12x^2}e -\frac{11}{24x}e,\]sans faire l'évidente simplification $\frac{3e}{8}+\frac{5}{12}e=\frac{19e}{24}=\frac{19}{24}e$, cela suggère que tu devrais te méfier de ta fiabilité en calcul – et la travailler ! Ensuite, je ne sais pas comment tu as vérifié les épousailles entre courbes mais le premier dessin ci-dessous montre que cette vérification n'est pas fiable (en bleu, la fonction initiale ; en vert, l'équivalent du corrigé et des logiciels de calcul formel ; en rouge "ton" équivalent, qui est beaucoup plus loin de la courbe que celui du corrigé).

Cela dit, le fait que tu n'aies pas fait la simplification va nous permettre, je crois, de repérer ton erreur. En effet, faisons la différence entre le bon équivalent et celui que tu as trouvé :
\[-\frac{e}{12x}-\Bigl(-\frac{11e}{24x}\Bigr)=\frac{3e}{8x}.\]Je suis donc prêt à parier que l'erreur principale que tu as faite est le report de l'exposant de $x$ dans le premier terme et ce que tu as en fait trouvé, c'est [\frac{3e}{8x} + \frac{5}{12x^2}e -\frac{11}{24x}e=-\frac{e}{12x} + \frac{5}{12x^2}e.\](Cela dit, le terme en $1/x^2$ est faux aussi.)

Un dernier mot sur la vérification par les courbes : avec un graphe raisonnable, on peut comparer le premier terme (qui donne l'équivalent). Comme l'a dit Poirot, ça ne constitue pas une preuve. De plus, le second terme est à peu près indétectable en général. Dans le deuxième graphe figurent en bleu $-\frac{e}{12x}$ et en pourpre, $-\frac{e}{12x}+\frac{5e}{8x^2}$. Comme tu vois, les deux courbes sont indiscernables à cette échelle pour $x>20$.