Trouver une constante positive.

supspé · January 2018

Comment je peux faire pour prouver qu il existe une constante $c>0$ telle que : $$
\int^\infty_0 \big|\partial^2_r f+\frac{1}{r}\partial_r f+r^2f\big|^2 rdr>=c \int_{\Bbb{R^+}}|f(r)|^2 rdr$$

pour toute $f\in C^\infty_0(\Bbb{R})$.

Toute remarque sera bien appréciée. Merci.

YvesM · January 2018

Bonjour,

Pour $f$ nulle c'est faux.
Pour $f$ non nulle, l'intégrale à gauche est strictement positive ( et donc $c$ existe) sauf si $f$ vérifie l'ED... qui est de Bessel et donc $C_0^\infty$.
Ton énoncé est donc faux. Il n'existe pas $c>0$ lorsque $f$ est solution de l'équation différentielle de Bessel (qui inclut la fonction nulle).

supspé · January 2018

Bonjour@YvesM, la fonction de Bessel n'est pas solution de l'équation différentielle qui est à gauche, d'ailleurs il n'existe aucune $f\in L^2(\R^+,rdr)$ solution de l'équation différentielle en question (c'est un résultat déjà montré).

Merci infiniment.

YvesM · January 2018

Bonjour,

Avec la correction du signe en $\geq$ et le résultat sur l'inexsitence de solution de cette ED qui soit $L^2$, tu peux conclure.

supspé · January 2018

Bonjour, comment je peux conclure.

YvesM · January 2018

Bonjour,

J’essaie.
Si $f$ est la fonction nulle, alors l’inegalite est vraie pour toute constante $c>0$ ; on peut choisir $c=1.$
Si $f$ n’est pas nulle, et si l’integrale du membre de droite existe, alors l’integrale du membre de droite est strictement positive. On divise donc par cette intégrale toute l’inegalite. On prend la contraposée. On suppose qu’il existe une fonction $f$ telle que le membre de gauche soit plus petit que tout $c>0.$ A la limite, on obtient que l’intégrale à gauche est nulle : donc $f$ vérifie l’ED (puisque l’integrande est positif ou nul) mais les fonctions de Bessel solutions - non nulles - ne sont pas de carré sommable sur l’axe des réels positifs. Contradiction.
C’est raisonnable ?

supspé · January 2018

Bonjour,

Ma proposition c'est $ \exists c>0, \forall f,\dots$ sa négation est donc

$\forall c>0, \exists f , \overline{\dots}$

donc à chaque $c>0$, il va exister un $f$ qui dépend de $c$.

Du coup ton raisonnement ne marche pas bien.

Merci

YvesM · January 2018

Bonjour,

As-tu essayé avec la fonction f égale à une exponentielle en $-r/a$ ?

Noutch · January 2018

Bonjour, je pense que tu peux utiliser le théorème de l'application ouverte. Considère l'espace fonctionnel L^2[R+], le membre de droite est la norme au carré de f dans cet espace. Et celui de gauche la norme au carré d'un certain opérateur. Montre que le Im de ton opérateur est un sous espace fermé, qu'il est injectif et déduis l'existence de cette constante avec le théorème de l'application ouverte

supspé · January 2018

Bonjour,

@YvesM, j'ai essayé avec $a_j \exp(-k_j r), a_j r\exp(-k_j r), a_j \exp(-k_j r^2),a_j r^2 \exp(-k_j r), a_j+b_j r \exp(-k_j r^2) $...

@Noutch, J'ai essayé avec ta méthode qui est une reformulation de ma question, la difficulté s'incarne dans la fermeture de l'image.

Trouver une constante positive.

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