Suites orthonormées totales

Bonjour, j'ai beaucoup de mal avec une question d'examen de théorie en analyse. La voici

Définir l'espace $L^2([0, 1])$. Qu'appelle-t-on base orthonormée dans cet espace ?

Voici ma réponse,

L'espace $L^2([0, 1])$ désigne l'ensemble des fonctions de carré intégrables sur $[0, 1]$. De plus, l'espace $L^2([0, 1])$ est de Hilbert, c'est-à-dire que les suites de Cauchy y convergent pour la norme $$||f||_2 = \sqrt{\int_0^1 |f(x)|^2 dx}, \quad f \in L^2([0, 1])$$

Quant à la définition d'une base dans cet espace, je ne comprends pas très bien ce que je dois mettre. Mon idée première est de considérer la suite orthonormée totale $$e_m = \frac{1}{\sqrt{b - a}} e^{\frac{2i \pi m x}{b - a}} = e^{2i \pi m x}, \quad b = 1, a = 0$$

Je sais que je peux décomposer une fonction $f$ \in $L^2([0, 1])$ de façon unique comme suit, $$f = \sum_{m=-\infty}^{+\infty}<f, e_m>e_m$$

Avec $<f, e_m>$, les coefficients de Fourier (complexes) et on appelle base orthonormée de $L^2([0, 1])$, les $e_m$, $m \in \mathbb{Z}$

Suis-je sur la bonne voie ?
Pour la seconde question, qu'appelle-t-on base dans cet espace ? Je peux donner n'importe quelle suite et dire que c'est une base de $L^2([0, 1])$ pour peu que ma suite soit orthonormée totale, c'est cela ?