espaces vectoriels normés (niveau PC)

Fabrice2
Fabrice2
dans Analyse
Bonjour,
Voici un exercice qui issu d'un TD sur les espaces vectoriels normés, qui a l'air trop simple et du coup je cherche le piège...
Je suis tenté de répondre en écrivant :
$\forall n \in \N , A_n A_n^{-1} = I_p$. D'où par passage à la limite $AB = I_p$.
Donc A est inversible et $A^{-1} = B$.
Est-ce vraiment si simple ?

Et à mon avis on ne peut pas retirer la 3ème condition : prendre par exemple
$A_n = diag(1/n , 1/n)$ et $B_n = diag(n , n)$

Merci d'avance pour vos retours sur cet exercice !71760

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Rien n'empêche un exercice d'être simple.
  • Fabrice2
    Fabrice2
    D'accord, et du coup on ne parle pas de norme ici ?
  • Héhéhé
    Héhéhé
    C'est l'idée, mais vu que l'exercice est particulièrement simple il serait bien de justifier/au moins le dire que

    (1) la limite du produit c'est le produit des limites.

    (2) qu'on a seulement montré que $A$ admet un inverse à droite, et que ca suffit pour montrer qu'il y a un inverse tout court.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Que veut dire $A_n\to A$ ?
  • Fabrice2
    Fabrice2
    Merci pour ces précisions. Et oui en effet, An tend vers A signifie que norme de (An moins A) tend vers 0 pour une certaine norme de matrices.

    Sinon, voici un autre exercice et mon début de solution en pièce jointe. Voyez-vous comment déterminer la limite lorsque n tend vers l'infini du terme en haut à droite de la matrice Mn ? Merci d'avance !71762
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Tu peux essayer de diagonaliser la matrice…

    Question subsidaire : le théorème de Cayley-Hamiton est-il au programme ?
  • Chaurien
    Chaurien
    Le théorème de Cayley-Hamilton est hors programme en PC.
    C'est idiot mais c'est ainsi.
    https://www.scei-concours.fr/CPGE/BO/Mathematiques_PC.pdf
  • Fabrice2
    Fabrice2
    @gb je connais le théorème de Cayley-Hamilton mais il est hors programme en PC. Comment peut-il servir ici ?
    Ah oui je peux commencer par diagonaliser T dans le cas où a et c sont différents.
    Le cas a=c donne T diagonalisable et diagonale seulement si b=0. Dans ce cas T=I et je peux utiliser le binôme de Newton...
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Fabrice2
    Trouve une expression simplifiée de ton terme en haut à droite.
    Parfois le $\Sigma$ cache les choses.
    Bon courage, tu y es presque.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Fabrice2
    Pas de Cayley-Hamilton ni de diagonalisation, continue avec ton idée initiale.
    Ne JAMAIS chercher à résoudre un problème avec des notions hors-programme, c'est du temps perdu pour le concours.
  • Chaurien
    Chaurien
    L'expression : $a^{n-1}+a^{n-2}c+a^{n-3}c^2+...+ac^{n-2}+c^{n-1}$ se simplifie si $a=c$, et aussi si $a \neq c$.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Sauf que le calcul de puissances de matrice 2*2 est lui un exemple inclus dans le programme (Cayley Hamilton 2*2 peut-être utilisé pour simplifier d'ailleurs....)
    On se ramène à des récurrences linéaires d'ordre 2
    Cherche une relation du type (avec des suites $(\alpha_{n})$ et $(\beta_{n})$ à déterminer) : $$T^{n}=\alpha_{n}T+\beta_{n}I_{2}.$$
  • Chaurien
    Chaurien
    Bon, il y a plusieurs manières de trouver la puissance $n$-ème d'une matrice $2 \times 2$, surtout triangulaire. Pour l'instant, il s'agit d'un élève de Math Spé PC qui s'entraîne pour un concours difficile, dans le cadre du programme de maths de sa classe. Il a bien travaillé sur cet exercice, il a trouvé une expression de cette matrice $T^n$, mais il lui manque juste l'ultime étape.
    On ne lui a sans doute pas appris l'identité : $(a-c)(a^{n-1}+a^{n-2}c+...+ac^{n-2}+c^{n-1})=...$.
    Ainsi il pourra conclure, et ensuite nous verrons les autres méthodes, si besoin est.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Chaud, j'avoue :p
    Ce ton sarcastique, un plaisir Oo
  • Chaurien
    Chaurien
    Et j'ajoute que la notion de polynôme annulateur est elle aussi explicitement hors programme en PC.
    https://www.scei-concours.fr/CPGE/BO/Mathematiques_PC.pdf
    (bis)
  • Fabrice2
    Fabrice2
    Merci à tous ! l'égalité a^k - c^k = (a-c) * somme des a^{k-1-i} c^i me donne la limite du terme en haut à droite de la matrice :
    $b e^a$ si a=c et $b (e^a - e^c) / (a-c)$ si c différent de a.
    Je ne suis pas vraiment étudiant en PC, disons que je continue à travailler les maths en autodidacte.
    Sinon, je comprends finalement la méthode consistant à effectuer une division euclidienne de X^n par le polynôme caractéristique ou un autre polynôme annulateur mais je garde à l'esprit que c'est pas au programme en PC.
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