Ou bien tu considère la fonction qui à x associe racine de x. À partir d'un rang, les termes de ta suite sont dans ]l-1,l+1[. Tu utilise les accroissements finis dans la partie positive de cet intervalle pour un et l
Si la suite \((u_n)_n\) converge, elle est minorée, et si \(m\) est la borne inférieure, alors :
\[\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{l} \rvert = \frac{\lvert u_n-l \rvert}{\sqrt{u_n} + \sqrt{l}} \leqslant \dots = \frac{\lvert u_n-l \rvert}{\sqrt{m} + \sqrt{l}}\]
et on est un peu ennuyé lorsque \(m\) et \(l\) sont nuls, et on traite donc le cas de la limite nulle à part.
Réponses
Le plus simplement du monde :
\[\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{l} \rvert =\frac{\lvert u_n-l \rvert}{\sqrt{u_n} + \sqrt{l}} \leqslant \dots \]
\[\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{l} \rvert = \frac{\lvert u_n-l \rvert}{\sqrt{u_n} + \sqrt{l}} \leqslant \dots = \frac{\lvert u_n-l \rvert}{\sqrt{m} + \sqrt{l}}\]
et on est un peu ennuyé lorsque \(m\) et \(l\) sont nuls, et on traite donc le cas de la limite nulle à part.