limite de suite

kader66++ · January 2018

Bonjour comment prouver, à partir de la définition de la limite d'une suite que
Si lim U_n = l >= 0 alors lim racine(U_n)=racine(l)

PS. Les limites pour n tendant vers l'infini.

gb · January 2018

Bonjour,

Le plus simplement du monde :
\[\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{l} \rvert =\frac{\lvert u_n-l \rvert}{\sqrt{u_n} + \sqrt{l}} \leqslant \dots \]

Poirot · January 2018

Ou bien, ce qui est essentiellement la même chose, en montrant que la fonction racine carrée est continue sur $\mathbb R^+$.

Archimède · January 2018

Il faut supposer $\forall n\in\N,\ u_n\ge 0$.

Noutch · January 2018

Ou bien tu considère la fonction qui à x associe racine de x. À partir d'un rang, les termes de ta suite sont dans ]l-1,l+1[. Tu utilise les accroissements finis dans la partie positive de cet intervalle pour un et l

kader66++ · January 2018

j'ai suivi votre égalité mais je ne sais pas quoi faire 72090

Chaurien · January 2018

Distinguer $\ell >0$ et $\ell=0$.

gb · January 2018

Si la suite $(u_n)_n$ converge, elle est minorée, et si $m$ est la borne inférieure, alors :
\[\lvert \sqrt{u_n} - \sqrt{l} \rvert = \frac{\lvert u_n-l \rvert}{\sqrt{u_n} + \sqrt{l}} \leqslant \dots = \frac{\lvert u_n-l \rvert}{\sqrt{m} + \sqrt{l}}\]
et on est un peu ennuyé lorsque $m$ et $l$ sont nuls, et on traite donc le cas de la limite nulle à part.