EDP, norme, majoration

Bonjour,

Ta norme n'en est pas une, elle ne respecte pas l'homogénéité.

Avant de parler de valeurs propres et de vecteurs propres, tu dois dire sur quel espace tu te places.
Je suppose que tu regarde le Laplacien sur $L^2(]0,1[^2)$ de domaine $H^2(]0,1[^2) \cap H^1_0(]0,1[^2)$.
Dans ce cas là, le Laplacien est autoadjoint à résolvante compacte donc on a une base hilbertiennes de vecteurs propres de la forme $\sin$, et les valeurs propres forment une suites de réels strictement positifs qui tend vers $+\infty$.

En fait, ici, tu es dans un cas plus facile, car tu te places sur $D$ qui est le domaine fondamental (en enlevant deux arêtes) du réseau $\mathbb{Z}^2$. Une base hilbertienne de $L^2(]0,1[^2)$ est donnée par les fonctions $(e_k)_{k \in (\mathbb{Z}^2)^*}$ définies par $$e_k(x)=e^{i\langle k,x\rangle}$$ où $(\mathbb{Z}^2)^*=2\pi \mathbb{Z}^2$ est le réseau dual de $\mathbb{Z}^2$ (c'est la base de Fourier).
Les $e_k$ sont aussi des vecteurs propres de ton Laplacien (si on oublie les conditions de Dirichlet au bord et qu'on choisit $H^2(]0,1[^2)$ comme domaine) associés au valeurs propres $|k|^2$ (où $|k|$ désigne la norme euclidienne de $\mathbb{R}^2$).

Si j'essaie de me rapprocher de ce que tu veux faire, la norme qui ressemblerait le plus à la tienne serait :
$$||\varphi||_{\alpha}= \left( \sum_{k \in 2\pi \mathbb{Z}^2} (1+|k|^2)^{\alpha} |c_k(\varphi)|^2 \right) ^{\frac{1}{2}}$$
C'est en fait la norme de l'espace de Sobolev $H^{\alpha}(]0,1[^2)$

La généralisation des séries de Fourier à la dimension supérieure est expliquée (de manière très courte) dans ce poly à la page 13 :
https://www.math.u-psud.fr/~pgerard/PbEvol.pdf