Développement en série entière de 1/f(x)
Bonjour tout le monde
Soit f une fonction DSE en 0 tel que f(0) non nul.
Montrez que 1/f(x) est DSE en 0.
J'ai fixé une suite an et considéré un développement en série entière pour f(x)
on a forcément a0 non nul par définition de f.
En factorisant avec a0 on a l'impression d'avoir le résultat, sauf que le DSE doit toujours être de module < 1 non ?
Merci de me corriger, ou de m'indiquer une autre piste parce que celle-ci n'a pas l'air bonne.
Soit f une fonction DSE en 0 tel que f(0) non nul.
Montrez que 1/f(x) est DSE en 0.
J'ai fixé une suite an et considéré un développement en série entière pour f(x)
on a forcément a0 non nul par définition de f.
En factorisant avec a0 on a l'impression d'avoir le résultat, sauf que le DSE doit toujours être de module < 1 non ?
Merci de me corriger, ou de m'indiquer une autre piste parce que celle-ci n'a pas l'air bonne.
Réponses
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Pour $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$, quel est le rayon du DSE de $1/f$ ?
Edit : La piste est bonne mais elle ne donnera pas le meilleur rayon possible, ce qui est plus ou moins sans espoir. J'ai tiqué sur "doit", on est plutôt en train de parler de condition suffisante pour faire apparaître le DSE de $1/f$ que de condition nécessaire. -
Pour $x$ suffisamment proche de $0$, tu as (après factorisation par $a_0 \neq 0$) au dénominateur une quantité de la forme $1+g(x)$ avec $|g(x)| < 1$ puisque $g(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$.
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C'est ce que je me disais aussi, on a forcément |g(x)| < 1.
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