variations sans dérivée

Bonjour.

Pour la première, avec la réécriture $f(x)=1+\frac{a}{x-a}$, on peut se contenter de la définition.
Pour la deuxième, je ne vois rien de simple, d'autant que les variations sont très différentes suivant que a est strictement négatif, nul ou strictement positif. Mais on utilisait autrefois, en seconde et début de première, la méthode suivante (que je donne ici sur un exemple, avec $g(x)=\frac x {x^2+1}$)
g étant impaire, on étudie seulement sur $\mathbb R^+$. Soient a et b deux réels, avec $0\le a<b$ :
$g(b)-g(a) = \frac{b(a^2+1)-a(b^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}= \frac{ba^2-ab^2+b-a))}{(a^2+1)(b^2+1)}= \frac{(b-a)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}$
Trouver le sens de variation de g revient à trouver le signe de $g(b)-g(a)$, donc ici de $1-ab$ (les autres facteurs sont positifs). Lorsque a et b sont égaux (*), ça devient le signe de 1-a² qui dépend de la position de a par rapport à 1 (et -1). Donc on prend deux cas :
* si $a<b\le 1$ alors ab<1, et on a prouvé que $0\le a<b\le 1 \Rightarrow g(b)-g(a)>0$ donc g est croissante sur [0,1]
* Si $1\le a<b$ alors ...(je te laisse le faire)

Cordialement.

(*) oui, d'accord, a est différent de b par hypothèse, mais ça ne sert qu'à trouver l'intervalle, le raisonnement qui suit est impeccable. Et ça prépare la dérivée !!

Serviteur, Monsieur ! (Cette formule sert juste à prendre congé...)

Merci Gérard. En réponse au message suivant : ce n'est sans doute pas une méthode pour faire en seconde mais c'est une méthode astucieuse.