Intégrale généralisée
Bonjour tout le monde,
Considérons une intégrale impropre dont une des bornes est +infini.
Pour avoir l'intégrabilité sur cet intervalle, la limite de la fonction à l'intérieur en +infini doit forcément être 0 ? ( J'ai fait une petite analogie avec les séries)
De même si une borne est un réel, la limite de la fonction à l'intérieur doit cette fois être finie
Si la fonction à l'intérieur ne possède pas de limite alors on a forcément divergence de l'intégrale (encore une analogie avec les séries)
Merci de votre soutien.
Considérons une intégrale impropre dont une des bornes est +infini.
Pour avoir l'intégrabilité sur cet intervalle, la limite de la fonction à l'intérieur en +infini doit forcément être 0 ? ( J'ai fait une petite analogie avec les séries)
De même si une borne est un réel, la limite de la fonction à l'intérieur doit cette fois être finie
Si la fonction à l'intérieur ne possède pas de limite alors on a forcément divergence de l'intégrale (encore une analogie avec les séries)
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Réponses
"Pour avoir l'intégrabilité sur cet intervalle, la limite de la fonction à l'intérieur en +infini doit forcément être 0 ?"
Non. voir la fonction qui vaut 1 sur $[n,n+\frac 1 {n^2}]$ pour tout entier n, et 0 ailleurs.
"( J'ai fait une petite analogie avec les séries) " C'est toujours dangereux, les analogies.
"De même si une borne est un réel, la limite de la fonction à l'intérieur doit cette fois être finie "
Non, par exemple $x\mapsto \frac 1{\sqrt x}$ est intégrable sur [0, 1].
C'est toujours dangereux, les analogies.
Cordialement.
et d'autre part $$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt x} \,dx$$ converge.
Si une fonction \(f\) est intégrable sur \([a,+\infty[\), elle peut :
– être de limite nulle en \(+\infty\), par exemple \(x \mapsto 1/x^2\) sur \([1,+\infty[\) ;
– ne pas avoir de limite en \(+\infty\), par exemple \(x \mapsto x e^{-x^6\sin^2x}\).
Inversement, si \(f\) a une limite finie non nulle ou infinie en \(+\infty\), elle n'est pas intégrable sur \([a,+\infty[\).
Si \(f\) est intégrable sur \([a,b[\) (ou \(]b,a]\)), les bornes étant finies, elle peut :
– avoir une limite finie en \(b\), par exemple \(x \mapsto x\ln x\) sur \(]0,1]\), auquel cas on parlait dans ma jeunesse d'intégrale « faussement impropre »;
– avoir une limite infinie en \(b\), par exemple \(x \mapsto 1/ \sqrt x\) sur \(]0,1]\);
– ne pas avoir de limite en \(b\), par exemple \(x \mapsto \sin(1/x)\) sur \(]0,1]\).
mais $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=-\infty$, me semble-t-il.
Bon...hum...ai-je perdu une occasion de me taire ?(:D
Non, tu as bien fait, c'est une remarque très pertinente (tu).
En effet, pour chaque propriété des séries il y a le plus souvent une propriété analogue pour les intégrales généralisées. Et pour la propriété de base des séries, limite nulle, il semblait qu'il n'y ait pas d'analogue chez les intégrales généralisées. Voici qui complète le tableau. Cette propriété n'est pas souvent citée, elle n'en est que plus intéressante. C'est un bon exercice de MP
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Et comment fait-on ?
Oui, tu as raison, j'ai zappé allègrement le changement de variable que j'ai donc saboté aussi prestement. :-D
Edit : trop tard.
J'ai donné à plusieurs reprises dans ce forum un exemple d'une telle fonction explicite de classe $\mathcal C^ \infty$, et même de toute une famille, clés en mains, sans se fatiguer à les construire.
Par exemple, une variable aléatoire à densité de classe $\mathcal C^ \infty$, non majorée, et des moments finis de tous ordres.
Soit une fonction $f$ définie sur $[a,+\infty \lbrack $, à valeurs réelles.
Par définition la fonction $f$ admet $0$ pour valeur d'adhérence en $+ \infty$ si : $\forall \varepsilon >0,\forall A\geq a,\exists x\geq A,\left\vert f(x)\right\vert \leq \varepsilon $.
L'assertion « la fonction $f$ n'admet pas $0$ pour valeur d'adhérence en $+ \infty$ » se traduit donc par :
$\exists \varepsilon >0,\exists A\geq a,\forall x\geq A,\left\vert f(x)\right\vert >\varepsilon $.
Si de plus la fonction $f$ est continue, alors d'après le TVI l'assertion «$ \forall x\geq A,\left\vert f(x)\right\vert >\varepsilon $ » , avec $\varepsilon >0$, équivaut à :
« ($\forall x\geq A, f(x) >\varepsilon $) ou ( $\forall x\geq A, f(x)<- \varepsilon $ )».
Et si tout ça est vrai, alors l'intégrale $\int_{a}^{+\infty }f(t)dt$ ne saurait converger.
Si je ne m'abuse, c'est un raisonnement par l'absurde, avec usage approprié des quantificateurs. Comme quoi la logique c'est utile ;-).
Bonne soirée.
Fr. Ch.
C'était juste pour voir si un exemple apparaîtrait en personne, qui m'aurait appris du nouveau.
Oui. Je m'aperçois que j'ai écrit quelque chose en pensant à une petite nuance.
J'ai écrit "intégrable" mais en fait, par rapport au sujet, j'aurais pu écrire "l'intégrale généralisée converge".
En effet, la propriété reste vraie pour une intégrale semi-convergente, si je ne me trompe pas.
Il y a à distinguer deux cas (disjoints) :
a) $f$ change de signe indéfiniment, et on a la suite des valeurs nulles grâce au TVI.
b) $f$ garde un signe constant à partir d'un certain rang et ton raisonnement s'applique à la lettre.
Au fait, au sujet de l'exercice de @Héhéhé, je ne savais plus vraiment comment faire, sauf le vague souvenir des fonctions plateaux. Était-ce ta méthode (je n'ai même pas tenté de retrouver les fils dont tu parles...on connaît la pertinence du moteur de recherche...) ?
Une dernière chose : je dirais que "raisonnement par contraposée" suffit.
Oui, pardon, en relisant soigneusement, en effet...8-)
On peut voir que cette démonstration prouve aussi que si $f$ est une fonction définie et intégrable sur $[a,+\infty \lbrack$, à valeurs réelles ou complexes, alors cette fonction $f$ admet $0$ pour valeur d'adhérence en $+ \infty$. Il n'est pas nécessaire de supposer la continuité.
On peut citer une fonction $f$ continue par morceaux sur $[0,+\infty \lbrack$, à valeurs réelles, avec l'intégrale $\int_{0}^{+\infty }f(t)dt$ convergente, et qui n'admet pas $0$ pour valeur d'adhérence en $+ \infty$. Pour $x \in [\sqrt{k}, \sqrt{k+1}~\lbrack$, $k \in \mathbb N$, prendre $f(x)=(-1)^k$.
Bonne journée.
Fr. Ch.