Relation de comparaison entre fonctions

Bruce · January 2018

Bonjour tout le monde,
Soit f,g des fonctions numériques telles que : f~g en un point a par exemple
Je souhaite savoir pourquoi a-t-on besoin d'un signe constant des deux fonctions au voisinage de a pour conclure que leurs intégrale généralisées sont de même nature ?
Pour les séries je comprends, mais pour les fonctions je vois mal, surtout que dans la démonstration ce n'est pas signalé.
J'en profite dans la même occasion pour le théorème d’interversion limite-intégrale.
Pourquoi la continuité par morceaux n'est pas conservée par limite uniforme ? (c'est bien le cas des fonctions continues pourtant).
Est-il possible d'avoir un contre-exemple ?
Merci beaucoup de votre aide.

Dom · January 2018

Pour les fonctions équivalentes : c'est la majoration en valeur absolue qui intervient.

Remarque :
On a des propriétés pour des fonctions telles que $f=O(g)$.
On peut les utiliser pour les fonctions équivalentes.

Pour le théorème (lequel ?) je ne sais pas répondre dans l'immédiat.
Cependant, si la suite $f_n$ est une suite de fonctions continues par morceaux, disons sur [a;b], est-ce que cela ne va pas poser problème si le nombre de points de discontinuité augmente avec $n$ par exemple ?

Poirot · January 2018

Pour la première question, si tes fonctions sont équivalentes au voisinage de $a$ et que l'une est de signe constant alors l'autre aussi, c'est automatique, c'est un bon exercice de le prouver avec la vraie définition des équivalents, qui est je te le rappelle $f=g(1+o(1))$ au voisinage de $a$.
Pour la deuxième question, on peut très bien imaginer qu'en passant à la limite, on ait une infinité de discontinuité, et donc que la fonction limite ne soit pas continues par morceaux.

gb · January 2018

Bruce a écrit:

Pourquoi la continuité par morceaux n'est pas conservée par limite uniforme ?

Parce que le nombre de morceaux peut devenir infini; par exemple avec la suite $(f_n)_{n\geqslant1}$ définie par:
\[\forall n \geqslant 1 \qquad f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{n} \\ \frac{1}{\mathrm{E}(1/x)} & \text{si } \frac{1}{n} < x \leqslant 1 \end{cases}\]
où $\mathrm{E}(t)$ désigne la partie entière du nombre réel $t$.

dedekind93 · January 2018

Bruce, pour ta première question, on a par exemple au voisinage de $+\infty $ : $\displaystyle\frac {\sin(t)}{\sqrt t}+\frac 1t\sim\frac {\sin(t)}{\sqrt t}$ mais les intégrales généralisées associées ne sont pas de même nature.
Edit: j'ai tapé trop vite, pardon pour mon équivalent manifestement faux!!

dedekind93 · January 2018

Et $\displaystyle\frac {\sin(t)}{\sqrt t}+\frac {\sin^2 (t)}t\sim\frac {\sin(t)}{\sqrt t}$ ?

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