Calculer une somme

superpower · January 2018

Bonjour,
Je n’arrive pas à calculer la somme suivante $\quad\displaystyle \sum_{q\in\mathbb Q_+}p^{-q\sigma},$
où. $p$ est un nombre premier et $\sigma$ un réel.
Auriez-vous une piste ?
Merci d’avance

Poirot · January 2018

Moi j'y arrive, ça fait $+\infty$.

superpower · January 2018

Bonjour,
Merci de la réponse.
Ce que tu dis est-il vrai même quand $\sigma$ est grand ?
Et la somme est pas beaucoup plus grande que l’intégrale $\int_{\mathbb R_+} p^{-r\sigma}dr $ qui converge non ?
Merci d’avance.

superpower · January 2018

Comment tu fais Poirot ?

MrJ · January 2018

Tu pourrais remarquer en notant $S$ la somme de ta série que
$$\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\quad S\geq \sum_{k=0}^{+\infty} p^{-\frac{k}{n} \sigma}.$$

superpower · January 2018

oi merci

Poirot · January 2018

Oui c’est ça, ton ensemble d’indice admet un sous-ensemble infini tel que la série portant sur ce sous-ensemble diverge (il suffit de prendre une infinité d’indices restant bornés).

Calculer une somme

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Bonjour!

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