équation fonctionnelle
dans Analyse
Bonsoir à tous. Je cherche une solution (si possible) élémentaire à l'exercice suivant.
On considère une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}$ telles que $$\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{f(x+1)+f(x+\sqrt{2})}{2}.$$ Démontrez que $f$ est constante.
On considère une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}$ telles que $$\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{f(x+1)+f(x+\sqrt{2})}{2}.$$ Démontrez que $f$ est constante.
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Réponses
ce n'est pas facile!
Je n'ai pas encore trouvé une solution et il commence à faire tard, mais voilà quelques observations que j'espère utiles:
1.$\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$, comme $f$ est continue, il suffit de montrer que $f$ est constante sur $\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$.
2. On a $\forall x \in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N} f(x)= \frac{1}{2^n} \sum\limits_{k=0}^n{\binom{n}{k} f(x+k+(n-k)\sqrt{2})}$
J'ai commencé par essayer de montrer que $f(1)=f(0)$ en utilisant les bons changements d'indice dans la somme mais ce n'est toujours pas ça...
PS: On peut supposer $f$ positive.
Effectivement, les calculs de phare semblent naturels, peut-être une piste probabiliste? Ça fait penser à des lois binomiales. Bobby joe qu’entends-tu par des fonctions quasi-périodiques ?
Je n'arrive meme pas a le montrer sans l'hypothese que la fonction continue $f$ est aussi bornee. Dans ce cas on peut proceder ainsi: si $(a,b)\in \mathbb{Z}^2$ et $g(a,b)=f(a+b\sqrt 2)$ alors $g(a,b)=\frac{1}{2}g(a+1,b)+g(a,b+1)$. Si $n$ et $x$ sont des entiers de meme parite on pose $h(n,x)=g(\frac{n+x}{2}, \frac{n-x}{2})$
et donc $$h(n,x)=\frac{1}{2}h(n+1,x+1)+\frac{1}{2}h(n+1,x-1)$$ En d'autre termes, comme le dit Phare, si $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ sont iid de loi $\Pr(X-n=\pm 1)=1/2$ et si $S_n=X_1+\cdots+X_n$ alors
$$h(0,x)=\mathbb{E}(h(n,x+S_n)).$$ Les probabilistes savent montrer qu'une telle fonction $h(n,x)$ bornee est constante (ma seule reference sous la main est 'Probability, the classical theorems' Henry McKean Cambridge University Press 2014, section 4.9.4. Donc $g$ est constante. Comme les $a+b\sqrt{2}$ sont denses et que $f$ est continue, alors $f$ est constante.
@P : la bornitude de la fonction fait effectivement partie des données de l'énoncé.
$$ On peut supposer $f$ positive majorée par $M$.
Pour tout $n \in \Z$, soit $u_n=\sup \{ f(a+b\sqrt{2}) | a+b=n, a \in \Z, b \in \Z\}$, alors on a $u_n \leq u_{n+1}$, pour tout $n\in \Z$.
De plus, $(u_n)$ est minorée par $0$ et majorée par $M$, donc elle admet une limite $\ell_1$en $-\infty$ et une limite $\ell_2$ en $+\infty$.
Si $\ell_1 < \ell_2$, Soit $A\in \Z$ tel que $\quad u_n > \dfrac{\ell_1+2\ell_2}{3}$,
pour tout $n \geq A$ et $B\in \Z$ tel que $\quad u_n < \dfrac{2\ell_1+\ell_2}{3}$ pour $n \leq B$. On peut choisir $B<0$.
Soit $a,b \in \Z$ fixés tels que $\quad f(a+b\sqrt{2}>\dfrac{\ell_1+2\ell_2}{3},\ $ avec $a+b = A$.
Il existe alors $\epsilon>0$ tel que $\quad f(x)>\dfrac{\ell_1+2\ell_2}{3},\ $ pour $x \in \,]a+b\sqrt{2}-\epsilon,a+b\sqrt{2}+\epsilon[$
Supposons $a+b\sqrt{2}\geq 0$.
Pour tout $t \in \N^*$,
Soit $c,d \in \Z$ tels que $c<0$, et $0<c+d\sqrt{2}<\epsilon$. Si $c$ est suffisament grand, on a $c+d<-t$.
Soit $k>0$ tel que $k(c+d\sqrt{2}) \in ]a+b\sqrt{2}-\epsilon,a+b\sqrt{2}+\epsilon[$. Alors $$
f(k(c+d\sqrt{2}))> \frac{\ell_1+2\ell_2}{3}.$$
Soit $t>-B$, alors $kc+kd<c+d<-t<B$. $$f(kc+kd\sqrt{2})< \frac{2\ell_1+\ell_2}{3},$$ par définition de $B$. Donc contradiction.
Si $a+b\sqrt{2}<0$, on fait de même.
Donc $\ell_1=\ell_2$.
Non, ça ne permet pas de conclure.
[Ne pas abuser des expressions centrées. :-) AD]
[Merci AD]
Pardon pour le délai de réponse. La preuve la plus directe que je connaisse utilise le théorème de Krein-Millman. Grossomodo,
On note E l'ensemble des fonctions mesurables bornées par $1$ qui vérifient presque partout : $$ f(x)=\frac{f(x+1)+f(x+\sqrt{2})}{2}.
$$ On remarque que $E$ est un convexe qui est compact pour la convergence faible étoile. Donc il est égal à l'adhérence de l'enveloppe convexe de ses points extrémaux. Cherchons donc ses points extrémaux.
On remarque que si $f\in E$ alors pour tout réel $y$ on a aussi $x \to f(x+y) \in E$. Ainsi, $x\to f(x+1) \in E$ et $x\to f(x+\sqrt{2})\in E$. Donc par extrémalité, on va avoir
\begin{align*}
f(x)&=f(x+1),&p.p\\
f(x)&=f(x+\sqrt{2}),& p.p
\end{align*}
donc $f$ admet deux périodes incommensurables et $f$ est presque sûrement constante. Donc tous les éléments de $E$ sont presque sûrement constants et si on rajoute la continuité on a que $f$ est réellement constante.
Une autre preuve plus fastidieuse mais plus élémentaire est donnée ci-dessous. En fait elle se rapproche un peu des idées de Marco.
On note $M=\sup\limits_{(p,q)\in \Z^2} f(p+1+q \sqrt{2}) - f (p +q \sqrt{2})$. Déjà on remarque que $M \ge 0$ car si $M<0$ on a que pour tout $p\in \Z,\ f(p+1+q\sqrt{2}) \le f (p+q\sqrt{2}) + M$ ce qui implique que $\lim\limits_{p\to\infty} f(p+q\sqrt{2})=-\infty$ et est absurde. Donc on sait que $M\ge 0$. Cherchons à prouver maintenant que $M\le 0$ pour en déduire $M=0$.
On fixe $\epsilon>0$ et on utilise la caractérisation séquentielle de la borne $\sup$ pour trouver un entier $p_\epsilon$ tel que $M\ge f(p_\epsilon +1+q_\epsilon\sqrt{2})-f(p_\epsilon+q_\epsilon\sqrt{2}) \ge M-\epsilon$.
En utilisant l'équation fonctionnelle en $p_\epsilon+1+q_\epsilon\sqrt{2}$ et en $p_\epsilon+q_\epsilon\sqrt{2}$ on a aussi $$
\frac{\left( f(p_\epsilon+2+q_\epsilon\sqrt{2})-f(p_\epsilon+1+q_\epsilon\sqrt{2})\right)}{2}+\frac{\left( f(p_\epsilon+1+(q_\epsilon+1)\sqrt{2})-f(p_\epsilon+(q_\epsilon+1)\sqrt{2})\right)}{2} \in [M-\epsilon,M].
$$ Par conséquent $$ f(p_\epsilon+2+q_\epsilon\sqrt{2})-f(p_\epsilon+1+q_\epsilon\sqrt{2}) \in [M-2\epsilon,M],
$$ ce qui s'itère en donnant $$
f(p_\epsilon+k+q_\epsilon\sqrt{2})-f(p_\epsilon+(k-1)+q_\epsilon\sqrt{2}) \in [M-2^{k-1}\epsilon,M],
$$ Par conséquent $$
\|f\|_\infty\ge f(p_\epsilon+k+q_\epsilon\sqrt{2})\ge f(p_\epsilon+q_\epsilon \sqrt{2}) + \epsilon( 1+2+\cdots+2^{k-1})+k M
$$ Ceci étant valable pour tout $k$ et tout $\epsilon$, on fait d'abord $\epsilon\to 0$ puis $k\to \infty$ pour aboutir à une contradiction si $M>0$. Par conséquent $M=0$. Après, on réitère le même raisonnement en intervertissant les rôles de $1$ et $\sqrt{2}$ puis on remplace $f$ par $-f$ et on aboutit enfin à $f$ constante sur le réseau $\Z+\sqrt{2}\Z$ et la continuité permet de conclure.
Ce qui est bizarre, c'est que même en rajoutant une hypothèse de continuité ça ne semble pas trop simplifier le problème... Ptet en rajoutant de la régularité...