Suite et règle de d'Alembert
dans Analyse
Sonjour
Soit la suite $u_n=(\frac n{n+1})^{n^a}$
Je dois en étudier la convergence.
le problème c'est qu'avec la règle de d'Alembert, j'obtiens une limite égale à $1$ et je ne peux rien en déduire quant à la convergence.
Quelle autre piste pourrais-je étudier ?
Merci
A.
Soit la suite $u_n=(\frac n{n+1})^{n^a}$
Je dois en étudier la convergence.
le problème c'est qu'avec la règle de d'Alembert, j'obtiens une limite égale à $1$ et je ne peux rien en déduire quant à la convergence.
Quelle autre piste pourrais-je étudier ?
Merci
A.
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Réponses
Par contre, Cauchy-Hadamard, avec la limsup donne le rayon de convergence d'une série entière (dont les coefficients sont ceux de ta suite).
À creuser...
Il y a la règle de Raabe-Duhamel (qui consiste à avoir un DA du quotient jusqu'à un certain ordre)
Un petit équivalent suffit :
\[\ln \frac{n+1}{n} \mathop{\sim}_{+\infty} \frac1n \implies \ln u_n = n^a \ln\frac{n}{n+1} \mathop{\sim}_{+\infty} - n^{a-1} \implies \ln u_n \xrightarrow{n\to+\infty} \begin{cases} \dots & \text{ si } \dots \\ \dots & \text{ si } \dots \\ \dots & \text{ si } \dots \end{cases} \implies u_n \xrightarrow{n\to+\infty} \dots\]
Par contre si l'on veut étudier la série de terme général \(u_n\), ce qui semble être le cas… il faut un développement limité pour avoir dans une connaissance plus intime de \(u_n\) que ne le permet le seul équivalent.
merci
je comprends bien la premiere partie mais j'ai plus de mal avec la seconde
je ne comprends pas la phrase " il faut un développement limité pour avoir dans une connaissance plus intime de Un que ne le permet le seul équivalent."
Ben, quand on connaît deux morceaux,on en sait plus que quand on connaît un morceau.
Cordialement,
Rescassol
et que j'arrive pas exemple
à 1/n + 1/2n par exemple, comment je passe à l'étape étude la série de terme général ?
j'étudie la limite de chaque terme de mon dl ?
Le développement limité permet d'exprimer la série comme somme de séries plus simples, dont la nature est de ce fait connu.
Il suffit ensuite de recoller les morceaux en utilisant les deux règles de base:
1. La somme de deux séries convergentes est une série convergente.
2. La somme de deux séries de natures contraires est une série divergente.
L'étude de la suite de terme général \(u_n\) te permet déjà de limiter l'étude « fine » de la série au seuls cas où le terme général est de limite nulle.
Cordialement, j__j
merci
Cordialement
Cdlt, Hicham
PS : mon cher ancien prof de taupe j__j : tu vois, je sais maintenant qu'il ne faut pas prendre des équivalents dans des exponentielles, surtout quand on peut conclure sans cela.