Point d’annulation
Bonjour à tous
J’aurais besoin d’un peu d’aide pour un exercice.
Je suis en mpsi et en algèbre je ne suis qu'aux applications linéaires, en analyse on a fini le programme.
Voilà l’exercice.
Soit f, continue de [0,1] dans R, telle qu’il existe un entier naturel n non nul, pour tout k<n, intégrale de 0 à 1 de f(t)tkdt=0
Montrer que f s’annule n fois
Soif f continue et 2-pi périodique de R dans R, montrer que si elle vérifie :
qu’il existe un entier naturel n non nul, pour tout k<n, intégrale de 0 à 2pi de f(t)cos(kt)dt =intégrale de 0 à 2pi de f(t)sin(kt)dt, elle s’annule au moins 2n fois sur [0,2pi[
Merci bien.
[Pourquoi s'acharner à vouloir effacer ce message ? C'est très impoli une fois que tu as reçu des réponses ! Poirot]
J’aurais besoin d’un peu d’aide pour un exercice.
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Soit f, continue de [0,1] dans R, telle qu’il existe un entier naturel n non nul, pour tout k<n, intégrale de 0 à 1 de f(t)tkdt=0
Montrer que f s’annule n fois
Soif f continue et 2-pi périodique de R dans R, montrer que si elle vérifie :
qu’il existe un entier naturel n non nul, pour tout k<n, intégrale de 0 à 2pi de f(t)cos(kt)dt =intégrale de 0 à 2pi de f(t)sin(kt)dt, elle s’annule au moins 2n fois sur [0,2pi[
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Réponses
Pour la première question, il faut remarquer que, avec une petite condition sur le degré du polynôme \(P\) :
\[\int_0^1f(t)P(t)\,dt=0\]
puis fabriquer un polynôme \(P\) pour que \(f(t)P(t)\) soit positif sur \([0,1]\).
La deuxième question est une version « exponentielle complexe » de la première.
Merci pour ta réponse, il faut que le polynôme soit de degré pair et qu’il n’ait pas de racine ou une (avec multiplicité) au maximum ?
Pourrais-tu développer un peu plus s’il te plaît ?
Merci bien.
On fabrique ensuite un polynôme \(P\) qui, sur \([0,1]\), a le même signe et les mêmes zéros que \(f\), et on regarde si c'est compatible avec la nullité de l'intégrale.
Par ailleurs, pour construire ce polynôme, il est bon de se rappeler du lien entre multiplicité des racines et racines des dérivées. En effet, la fonction peut s'annuler sans changer de signe.
C'est de la divination :
1. Je n'ai pas précisé comment je raisonnais
2. du coup je ne raisonne pas par l'absurde.
Ceci dit, j'ai le même problème avec un raisonnement par l'absurde.
J'arrive à contourner le problème, mais dans ce cas je dois abandonner ton idée de construire $P$ avec exactement les mêmes racines que $f$.
En revanche, pour la deuxième question, bien que j'ai déjà dû la faire moi aussi dans le passé, je bloque pour l'instant. $f$ continue n'implique pas que c'est la somme de sa série de Fourier. On peut essayer d'appliquer la même idée que la première question, mais il faudrait construire un polynôme trigonométrique qui s'annule où on veut en changeant de signe. Pour l'annulation ça n'a pas l'air trop dur en écrivant le polynôme comme $P(e^{ix})$, mais pour le changement de signe ...
Mais du coup l'insistance de gb à ne pas vouloir raisonner par l'absurde me paraît douteuse :-)
N.B. Il est curieux que le sujet ait dévié uniquement parce que j'ai refusé que l'on me prêtât des idées qui me sont étrangères, et au sujet desquelles je me suis senti, je ne sais pourquoi, obligé de me justifier, ce qui n'aurait pas dû être.
Absolument pas ! Relis tes deux premières indication, la première est très parcimonieuse, d'ailleurs Morphisme n'avait rien suivi, et la seconde est fausse (le polynôme n'aura pas exactement les mêmes zéros que $f$). Du coup j'ai essayé d'éclaircir tes indications, il n'y avait pas d'attaque contre toi. J'ai vraiment cru que tu pensais raisonner par l'absurde. Et ceci dit, si tu avais donné un peu plus d'infos ce ne serait pas arrivé. Tu ne peux pas venir, donner une indication très partielle voire fausse, puis faire l'étonné qu'on ait mal interprété ce que t'avais en tête ...
Mais à nouveau, j'ai agi pour trouver et comprendre la preuve, pas pour te critiquer.
Si quelqu'un a une aide pour la deuxième question, je suis toujours intéressé :-)
Edit : Merci à Poirot pour le rétablissement des deux questions initiales.