fonction non holomorphe
Bonjour,
1) J'ai une fonction $f:z \rightarrow z^3 + \bar{z}^3$
On demande de montrer que $f$ est à valeur dans $\mathbb R$.
En passant à la forme exponentielle, cela a l'air faisable.
Puis on me demande de prouver qu'il n'existe pas d'ouvert $\Omega$ non vide de $\mathbb C$ tel que f soit holomorphe sur $\Omega$.
En raisonnant par l'absurde, je pense utiliser le critère de Cauchy.
Grâce à cela, j'en déduis que la dérivée de la partie réelle de $f$ est constante donc que $f$ est constante (car partie imaginaire nulle). Mais après?
Merci
1) J'ai une fonction $f:z \rightarrow z^3 + \bar{z}^3$
On demande de montrer que $f$ est à valeur dans $\mathbb R$.
En passant à la forme exponentielle, cela a l'air faisable.
Puis on me demande de prouver qu'il n'existe pas d'ouvert $\Omega$ non vide de $\mathbb C$ tel que f soit holomorphe sur $\Omega$.
En raisonnant par l'absurde, je pense utiliser le critère de Cauchy.
Grâce à cela, j'en déduis que la dérivée de la partie réelle de $f$ est constante donc que $f$ est constante (car partie imaginaire nulle). Mais après?
Merci
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Réponses
Et un telle fonction ne peut être constante sur un disque prend des valeurs. Considère son centre, et une valeur dans le disque. N'aie pas peur de developper
Où $R$ désigne l'application « Partie Réelle ».
La deuxième partie est ok : si $f$ est holomorphe alors elle est constante comme tu l'as dit, et comme $f$ n'est pas constante elle n'est pas holomorphe.
Pour montrer qu'elle ne prend que des valeurs réelles, le réflexe $\overline{f(z)}=f(z)$ devrait s'imposer immédiatement ! (tout comme le réflexe $u + \overline u \in \mathbb R$)
Cordialement.
Merci, donc j'étais sur la bonne piste. On montre que la fonction est constante si elle est holomorphe or elle ne l'est pas (constante) donc elle n'est pas holomorphe
Je reviens sur ce problème car je ne vois pas comment montrer que $f:z \rightarrow z^3 + \bar{z}^3$ ne peut être constante sur tout ouvert $\Omega$ de $\mathbb C$.
Bien sûre, $f(0)=0$ et $f(1)=2$ mais cela ne prouve pas qu'il n'existe pas un ouvert $\Omega$ de $\mathbb C$ où $f$ est constante.
Pourtant cela a l'air évident.
Comment faire?
Merci
\[f(x,y) = (x+iy)^2+(x-iy)^2 = (2x^3-6xy^2)+0.i\]
ce qui prouve immédiatement que :
\(\hspace{5mm}\)— \(f\) est à valeurs réelles ;
\(\hspace{5mm}\)— \(f\), en tant que fonction de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}^2\), est polynomiale, indéfiniment différentiable, et admet pour matrice jacobienne en \((x,y)\) :
\[\begin{pmatrix}6(x^2-y^2)&0\\-12xy&0\end{pmatrix}\]
qui n'est une matrice de similitude sur aucun ouvert de \(\mathbf{R}^2\), qui n'est nulle sur aucun ouvert de \(\mathbf{R}^2\).
Donc \(f\) n'est holomorphe sur aucun ouvert de \(\mathbf{C}\), n'est constante sur aucun ouvert de \(\mathbf{R}^2\).