Intégrale généralisée (RDO 2.31)

Bonsoir,

Avec vos indications (équivalent en 0 ; et majoration pour la limite en $+\infty$), je montre la convergence pour $\alpha \in\, ]0;1[$.
Avec l'utilisation de la suite de terme générale $\displaystyle u_k=\int_{\tfrac{k \pi }{a}}^{\tfrac{(k+1) \pi }{a}} \dfrac{\sin{ at}}{t^\alpha (1+t)} \, \mathrm{d}t$.
Je majore la série $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n|u_k|$ par $\ {-}\dfrac{1}{\alpha}\Big(\dfrac{a}{\pi}\Big)^{\alpha}\Big(\dfrac{1}{(n+1)^{\alpha}}-1\Big)$ (pour $a>0$)
Donc je majore par une expression dont la limite est $\dfrac{a^{\alpha}}{\alpha\pi^{\alpha}}$

Maintenant ce qui me pose problème c'est la minoration. Pouvez-vous m'indiquer une piste ?
Merci.

En utilisant la piste de gb, je constate effectivement que si l'on pose $u_k=(-1)^kv_k$ on a $|v_{k+1}|<|v_k|$ et $\lim\limits_{k \rightarrow +\infty} |v_k|=0$ pour $\alpha > -1$ ; le critère spéciale est donc vérifié pour $\alpha >-1$.
En $0$ j'avais pris comme équivalent $\dfrac{a}{t^{\alpha-1}}$ et donc convergence pour $\alpha-1 < 0$ donc pour $\alpha < 1$.
Au final convergence pour $\alpha \in\, ]-1;1[$.

Concernant la seconde partie de l'énoncé (étude de $h(a)$ en$0$ et en $+\infty$), j'avais fait sur le même principe le travail suivant :

$\dfrac{\sin{at}}{t^\alpha(1+t)} < \dfrac{1}{t^{\alpha +1}}$

$\displaystyle \int_{\tfrac{(k)\pi}{a}}^{\tfrac{(k+1)\pi}{a}}\dfrac{\sin{at}}{t^\alpha(1+t)} \, \mathrm{d}t < -\dfrac{1}{\alpha}\bigg(\Big(\dfrac{(k+1)\pi}{a}\Big)^{-\alpha}-\Big(\dfrac{k\pi}{a}\Big)^{-\alpha}\bigg)$
En passant à la somme on a $\displaystyle \sum_{{k=0}}^n u_k < -\dfrac{1}{\alpha}\dfrac{a^\alpha}{\pi^\alpha}\Big(\dfrac{1}{(n+1)^\alpha}-1\Big)$ d'où $h(a) < \dfrac{1}{\alpha}\dfrac{a^\alpha}{\pi^\alpha}$

Ce qui je le crains ne m'avance pas à grand chose ...

Pour l'intégration par partie proposée, j'essaie et je vois où cela me mène.