Suites réc. lin. d'ordre 2 sans la théorie
dans Analyse
Bonsoir,
J'essaie de bricoler un exercice de probas pour mes TS dans lequel je suis amené à la étudier la suite $(d_n)$ définie par $d_1=1$, $d_2=\frac{3}{4}$ et
$$
\forall n \in \mathbb{N}^*, d_{n+2}=\frac{1}{2} d_{n+1}+\frac{1}{4} d_n.
$$
J'aimerais montrer qu'elle converge, et que la suite $S_n=\sum_{k=1}^n d_k$ aussi.
Je peux tout à fait faire vérifier par récurrence la formule explicite de $d_n$ (même sans expliciter les constantes), mais si vous avez une astuce dans votre besace pour éviter cela, je suis preneur.
Je ne parviens même pas à prouver que $(d_n)$ est décroissante !
Merci.
Gilles
J'essaie de bricoler un exercice de probas pour mes TS dans lequel je suis amené à la étudier la suite $(d_n)$ définie par $d_1=1$, $d_2=\frac{3}{4}$ et
$$
\forall n \in \mathbb{N}^*, d_{n+2}=\frac{1}{2} d_{n+1}+\frac{1}{4} d_n.
$$
J'aimerais montrer qu'elle converge, et que la suite $S_n=\sum_{k=1}^n d_k$ aussi.
Je peux tout à fait faire vérifier par récurrence la formule explicite de $d_n$ (même sans expliciter les constantes), mais si vous avez une astuce dans votre besace pour éviter cela, je suis preneur.
Je ne parviens même pas à prouver que $(d_n)$ est décroissante !
Merci.
Gilles
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Réponses
On peut étudier les suites :
\begin{align} v_n &= d_{n+1}-\frac{1+\sqrt5}{4} d_n & w_n &= d_{n+1}-\frac{1-\sqrt5}{4} d_n \end{align}
mais c'est très artificiel.
Donc $d_{n+2}=\frac{1}{2}d_{n+1}+\frac{1}{4}d_{n}< \frac{1}{2}d_{n+1}+\frac{2}{4}d_{n+1}=d_{n+1}$.
Merci GB, mais comme tu dis c'est très artificiel, je préfère éviter.
Ponctuel, ce que tu affirmes me semble faux (j'ai essayé de majorer par une suite géométrique sans succès, et quand tu regardes le terme général de tu te rends que c'est pas gagné vu l'alternance des signes).
marco, j'en étais arrivé à la même conclusion que toi... mais comment montres-tu que $d_{n+1}>\frac{d_n}{2}$ ? (édition : je suis idiot, la différence est $\frac{1}{4} d_{n-1}$. Merci !).
Pour $n=0$, $d_1>\frac{1}{2} d_0$.
Pour $n>0$, $d_{n+1}=\frac{1}{2}d_n+\frac{1}{4}d_{n-1}>\frac{1}{2} d_n$ car $d_{n-1}>0$.
Merci Ponctuel, ça me donne $d_{2n} \leq \left( \frac{3}{4} \right)^n$, ce qui est parfait pour prouver la convergence de la série.