Application linéaire

Bonjour,

Quelle est la définition d'une application linéaire ?
As-tu essayé de vérifier si "x+y=1" rentrait dans le cadre de cette définition ?

Bonsoir @Ahlamsmap,

Tu ne connais pas la définition et tu demandes pourquoi tel objet n'est pas une application linéaire?
Pour l'exemple , en voici un : la fonction qui à tout réel $x$ associe son double $2x$. Mais un exemple n'est PAS une définition!

Donc une application linéaire est d'abord une application. Sais-tu ce que c'est ?
Ensuite, il faut avoir deux espaces vectoriels (E,+,.) et (F,++, *) sur le même corps K; sais-tu ce que ça veut dire ? J'ai noté différemment les opérations dans les deux espaces vectoriels car, à priori, ce ne sont pas les mêmes.
Donc on a une application $ f : E\to F$. Elle est linéaire si elle respecte les opérations, donc si
$\forall a\in E, \forall b \in E, f(a+b) = f(a)\text{ ++ }f(b)$
$\forall a\in E, \forall k \in K, f(k.a)=k*f(a)$

Par exemple, l'application f de $(\mathbb R^3,+,.)$ dans $(\mathbb R^2,+,.)$ définie par $\forall (x,y,z)\in \mathbb R^3\, f((x,y,z) = (x+y,y-z)$ est linéaire; je te laisse le prouver en appliquant la définition (*)

Cordialement.

(*) mes élèves de seconde faisaient ça en 1973.

Bon sang, @Ahlamsmap "$x+y=1$" n'est pas un élément de $\mathbb{R}^2$!!

@Ahlamsmap,

Ce n'est PAS une APPLICATION, comment serait-ce une application linéaire.
Veux-tu parler de l'application :
$\begin{array}{clcl}
f : &\mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{R}\\
&x &\mapsto &1-x\\
\end{array}$ ?