Développements limités
Bonjour,
Dans le développement de la fonction $e^{\sin x}$ à l'ordre $n=4$, il y a un passage que je n'arrive pas à comprendre.
$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$ et
$e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+o(u^4)$,
soit, en posant $u=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$
$e^{\sin x}=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)$.
On a l'impression que $o(u^4)=o(x^4)$ ? Si la réponse est oui, alors pourquoi ?
Merci d'avance.
Dans le développement de la fonction $e^{\sin x}$ à l'ordre $n=4$, il y a un passage que je n'arrive pas à comprendre.
$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$ et
$e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+o(u^4)$,
soit, en posant $u=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$
$e^{\sin x}=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)$.
On a l'impression que $o(u^4)=o(x^4)$ ? Si la réponse est oui, alors pourquoi ?
Merci d'avance.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
Une généralisation?
Si \(u \sim v\), alors, pour tout \(n\), \(o(u^n)=o(v^n)\).
$o(f)+o(f)=o(f)$, qu'est-ce que cela veut dire exactement ? (puisqu'on sait que la somme de deux fonctions négligeables devant une fonction $f$ n'est pas en général une fonction négligeable devant $f$ ).