Exercice majoration d'intégrale

flar-tsi · February 2018

Bonjour, j'essaie de résoudre cet exercice. J'ai déjà essayé plusieurs choses comme le théorème de la moyenne ou encore l'inégalité de Cauchy-Schwartz mais je n'ai pas abouti.

Si vous avez une indication à me donner je suis preneur.

Merci

MrJ · February 2018

Il faut réussir à utiliser l'hypothèse $f(a)=0$ et l'hypothèse $f(b)=0$.
Pour cela, sépare l'intégrale de gauche en deux au point $(a+b)/2$ avec la relation de Chasles.
Ensuite, fait apparaitre la dérivée de $f$ dans chacune des deux intégrales et majore avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

moduloP · February 2018

Une intégration par partie $f = 1 \times f$ ?

senpai · February 2018

Salut, en posant $c=\frac{a+b}{2}$ et $M=\|f'\|_\infty$ (sur $[a,b]$) on a:

$\forall t \in [a,c], |f(t)|=|\int^t_a f'(x)dx| \leqslant \int^t_a |f'(x)|dx \leqslant M(t-a)$

$\forall t \in [c,b], |f(t)|=|\int^b_t f'(x)dx| \leqslant \int^b_t |f'(x)|dx \leqslant M(b-t)$

On utilise que $f(a)=f(b)=0$

Puis, $|\int^b_a f(t)dt| \leqslant \int^b_a |f(t)|dt =\int^c_a |f(t)|dt + \int^b_c |f(t)|dt \leqslant M(\int^c_a (t-a)dt + \int^b_c (b-t)dt)=\frac{(b-a)^2}{4}M$

Et je crois que seule la fonction nulle respecte le cas d'égalité, voilà bonne journée !

flar-tsi · February 2018

$|\int_a^b f(t)dt\ | = | - \int_a^{\frac{a+b}{2}} tf'(t)dt\ - \int_{\frac{a+b}{2}}^b tf'(t)dt\ |$ après une ipp puis relation de Chasles

Donc, $|\int_a^b f(t)dt\ | \le | \int_a^{\frac{a+b}{2}} tf'(t)dt\ | + | \int_{\frac{a+b}{2}}^b tf'(t)dt\ | $ par inégalité triangulaire

$|\int_a^b f(t)dt\ | \le (\int_a^{\frac{a+b}{2}} |t|^2dt\ )^\frac{1}{2}(\int_a^{\frac{a+b}{2}} |f'(t)|^2dt\ )^\frac{1}{2} + (\int_{\frac{a+b}{2}}^b |t|^2dt\ )^\frac{1}{2}(\int_{\frac{a+b}{2}}^b|f'(t)|^2dt\ )^\frac{1}{2} $ par Cauchy-Scwartz

Alors, $|\int_a^b f(t)dt\ | \le M\sqrt{\frac{b-a}{2}} \sqrt{\frac{(b-a)^3}{8}}$

D'où la conclusion.

Merci à vous pour votre aide.